توزيع احتمالي

يقوم التوزيع الاحتمالي باعطاء كل مجال من الأعداد الحقيقية احتمالا معينا بحيث تتحقق فرضيات الإحتمال . و بكلام آخر هو قياس احتمالي مجاله تطبيق جبر بوريل على مجموعة الأعداد الحقيقية .

التوزيع الإحتمالي يعتبر حالة خاصة من مصطلح أكثر عمومية هو القياس الاحتمالي ، الذي يعتبر دالة تربط قيم احتمالات بمجموعات مقيسة من الفضاء المقاس بحيث تحقق فرضيات كولوموغروف .

كل متغير عشوائي ينشأعنه توزيع احتمالي يحتوي معظم المعلومات المهمة عن هذا المتغير . فاذا كان المتغير X متغيرا عشوائيا فان التوزيع الاحتمالي الموافق له ينسب للمجال [a, b] احتمالا : بمعنى أن احتمال أن يأخذ المتغير X قيمة ضمن المجال هي : Pr[a ≤ X ≤ b] .

يمكن وصف التوزيع الاحتمالي للمتغير عن طريق دالة التوزيع التراكمي التي تعرف كما يلي :

$F(x) = \Pr\left[ X \le x \right]$

نقول عن توزيع احتمالي أنه منقطع اذا كانت دال التوزيع التراكمي له مؤلف من تسلسل قفزات متناهية ، مما يعني أنه يعود لمتغير عشوائي متقطع ، و هو بالتعريف متغير يمكنه أن يأخذ فقط قيما من مجموعة محددة منتهية و قابلة للعد . و نقول عن التوزيع الاحتمالي أنه مستمر اذا كان دالة التوزيع التراكمي له مستمرة أي أنها تعود لمتغير عشوائي احتمال أخذه لقيمة محددة معينة معدوما أي : Pr[ X = x ] = 0 أيا كانت x من مجموعة الأعداد الحقيقية ، في مثل هذه الحالة لا وجود لاحتمال غير معدوم الا من أجل مجال ضمن مجموعة الأعداد الحقيقية اما ان يأخذ المتغير قيمة محددة فهو أمر عديم الإحتمال .

هذه التوزيعات المستمرة المطلقة يمكن التعبير عنها بوساطة : دوال الكثاقة الاحتمالية : و هو عبارة عن دالة قابلة للتكامل بطريقة ليبيزغو ، موجبة حتما و معرفة على مجموعة الأعداد الحقيقية :

$\Pr \left[ a \le X \le b \right] = \int_a^b f(x)\,dx$