متحكم تربيعي خطي

أل كيو أر LQR إختصار لكلمة Linear Quadratic Regulator أي متحكم تربيعي خطي و هي طريقة من طرق تطويع و تسيير النظم و نوع من المتحكمات. و تعتبر هذه المتحكمات أو هذه الطريقة من نوع طرق التحكم المثالي Optimal Control. المتحكم التربيعي الخطي هو متحكم بإرجاع الحالة و ذلك يعني أولا أننا بحاجة إلى ملاحظ ليعطينا حالات النظام. كما أننا بحاجة إلى المتحكم. هذا المتحكم يتم الحصول عليه بطرية سنوضحها في هذه المقالة. أما عن سبب حساب المتحكم على المتحكمات المثالية فذلك لأن المتحكم يصغر دلالة تربيعية معينة سنوضحها أسفله. بما أن المتحكم خطي و الدلالة التي يصغرها تربيعية فإن المتحكم يسمى تربيعي خطي أو أيضا أل كيو أر.

توضيح طريقة بناء المتحكم (مع نموذج خطي)

لنفترض أنه لدينا نظام على شاكلة:

$\dot{x}(t)=A x(t) + B u(t)$ حيث $x(t) \in R^n$ و $u \in R^q$

مع الشروط البدئية $x (0) = x 0$ . نحن نريد الآن إيجاد متحكم خطي بإرجاع الحالة على شاكلة:

$u = K c x$

يجعل النظام مستقرا و في نفس الوقت يقوم بتصغير (تحسين) الدلالة التالية:

$I(x_{0},u(.)) = \int_{0}^{\infty}(x^{t}(\tau)Qx(\tau) +u^{t}(\tau)Ru(\tau))d\tau$

و ما يجدر ملاحظته هنا أننا عبرنا عن المعايير التي نريدها لمتحكمنا في مجال الزمن أي أن الخاصيات التي نريدها للمتحكم عبرنا عنها في مجال الزمن time domain على عكس عدة طرق أخرى التي تعبر عن خاصيات المتحكمات في مجال الترددات frequency domain. حيث يمثل الجزء الأول من الدلالة $x t Q x$ تقييمنا للإختلاف قيمة الحالة الحقيقية مقارنة بقيمة الحالة التي نريدها. و يمثل $u T R u$ تقييمنا لقيمة الطاقة التي نستعملها لجعل النظام مستقرا. حيث أن مداخل u كبيرة تعني أننا نتحصل على قيمة كبيرة للدلالة و هو ما يتضارب و عملية التحسين. إذن المعايير التي عبرنا عنها رياضيا أعلاه في الدلالة هي أننا نريد جعل النظام مستقر بأقل جهد أو مدخل u ممكن

مبرهنة

إذا كانت Q مصفوفة متوازية symmetric و ذات تحدد شبه موجب Positiv semi definit أي $Q \geq 0$
و R مصفوفة متوازية و ذات تحدد موجب أي $R > 0$
و النظام (A,B) قابل للإستقرار
و النظام (A;M) قابل للإكتشاف حيث $M=\sqrt{Q}$

فإن المتخكم المثالي بإرجاع الحالة هو الآتي:

$u = - R - 1 B T P x = K c x$

حيث P هي حل معادلة ريكاتي المصفوفية الجبرية algebraic riccatti equation أي المعادلة التالية:

$P A + A T P + Q - P B R - 1 B T P = 0$

في حالة أن النظام خطي و ذو معاملات متغيرة زمنيا Time variant أو في حالة أن مجال التحسين ليس $[0 \ \infty[$ بل $[0 \ t_{f}]$ أي أن مجال التحسين محدود فإن الفرق الوحيد مقارنة بما ذكر أعلاه هو أن المتحكم $K c$ سيكون ذو معاملات متغيرة زمنيا و المصفوفة P يجب حسابها من معادلة ريكاتي التفاضلية أي:

$\dot{P(t)}= -P(t)A-AP(t)-Q+P(t)BR^{-1}B{T}P(t)$

$P (t f) = 0$

خاصيات المتحكم التربيعي الخطي

يضمن المتحكم التربيعي الخطي مخزون طور مقداره 60 درجة أي أنه يمكن إعتباره من المتحكمات القابلة للتشويش Robust controller.
في المقال اعلاه إفترضنا أن الحالة x معروفة لنا أو يمكننا قياسها حيث أننا نستعملها في حساب المدخل المثالي u أي مخرج المتحكم (u=Kx). هذا الإفتراض ليس دائما واقعيا حيث أنه يجب علينا استعمال ملاحظ لمعرفة الحالة. الملاحظ ذاته له ديناميكية. ف يحالة أن الملاحظ و النظام خطي فإنه هناك مبرهنة تقول أن أقطاب النظام المغلق أي الموصل داءريا closed loop هي اتحاد مجموعة أقطاب النظام المغلق بالمتحكم $K c$ مع مجموعة أقطاب الملاحظ.

وصلات خارجية

تصنيفات الصفحة: بذرة رياضيات | نظرية التحكم