الرئيسيةبحث

مصفوفة

يمكن تعريف المصفوفة عامة على أنها دالة رياضية خطية تحول مجموعة بداية أي إنطلاق (مجال) إلى مجموعة وصول أو نهاية (مدى). مجموعة الإنطلاق و الوصول يمكن أن تكون متكونة من أعداد صحيحة أو عقدية أو أشعة من الأعداد كما يمكن أن تكون هاتان المجموعتان متكونة بدورها من دالات رياضية أو أشعة دالات رياضية. و يمكن أن نرمز للمصفوفة بمعقفين يكتب بينهما عناصر المصفوفة كما هو مبين أسفله:
\begin{bmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&\cdots&{a}_{1n}\\{a}_{21}&{a}_{22}&\cdots&{a}_{2n}\\\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\{a}_{m1}&{a}_{m2}&\cdots&{a}_{mn}\end{bmatrix}
حيث aij يمكن أن تكون أعدادا صحيحة أو مركبة كما يمكن أن تكون دالات رياضية. ==

فهرس

المصفوفة كتابع

إن مصفوفة من الشكل \,m \times n\,\,(m, n \in \mathbb{N}) ، هي عبارة عن تابع:

\mathbf{A}\colon \{1, 2, \ldots, m\} \times \{1, 2, \ldots, n\} \to \mathbf{S},\,\,


إن (\{1, 2, \ldots, m\} \times \{1, 2, \ldots, n\}\, هو الجداء الديكارتي لكل من\{1, 2, \ldots, m\}\, و \{1, 2, \ldots, n\}.)\,.

العمليات على المصفوفات

الجمع

من أجل جمع مصفوفة وحيدة العنصر مع مصفوفة متعددة العناصرة، نجمع العنصر الوحيد مع كل عنصر من عناصر المصفوفة الأخرى، كما في المثال: \begin{bmatrix}1&2&3\\6&5&4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2&3&4\\7&6&5 \end{bmatrix}

أما عند جمع مصفوفة متعددة العناصر مع مصفوفة أخرى متعددة العناصر، فيجب أن يكون عدد صفوف، وعدد أعمدة كلا المصفوفتين متساويان، كما في المثال الآتي: \begin{bmatrix}1&2\\5&3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}5&4\\6&7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}6&6\\11&10 \end{bmatrix}

الضرب

ضرب مصفوفة وحيدة العنصر مع مصفوفة متعددة العناصر

نضرب العنصر الوحيد مع كل عنصر من عناصر المصفوفة، وتكون النتيجة، مصفوفة جديدة، تحوي العدد نفسه من العناصر. \begin{bmatrix}5&3&2\\1&7&6 \end{bmatrix}* 2 = \begin{bmatrix}10&6&4\\2&14&12 \end{bmatrix}

ضرب مصفوفة في مصفوفة

عدد الأعمدة في المصفوفة الأولى = عدد الأسطر في مصفوفة الثانية

بفرض A مصفوفة من الشكل a x b، وB مصفوفة من الشكل c x d، فمن أجل إيجاد A * B، يجب أن يكون b=c.

سنبدأ في البداية بضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود، فبفرض A وB مصفوفتان، حيث:

A=\begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix}b_1\\b_2 \\b_3 \end{bmatrix}

فيكون: A * B = \begin{bmatrix}(a_1)(b_1) + (a_2)(b_2) + (a_3)(b_3)\end{bmatrix}

ونلاحظ أن المصفوفة الناتجة هي مصفوفة وحيدة العنصر، وبالتالي، فإن ضرب مصفوفة وحيدة السطر مع مصفوفة وحيدة العمود ينتج مصفوفة وحيدة العنصر.

أما عند ضرب مصفوفتين متعددتي العناصر (وبفرض تحقق شروط الضرب)، فعندئذ، نقوم بتقسيم المصفوفة الأولى إلى سطور، والثانية إلى أعمدة، ونقوم بضرب الصف الأول بالعمود الأول (والنتيجة هي العنصر a_11 من النتيجة)، ثم نقوم بضرب الصف الأول مرة أخرى بالعمود الثاني (والنتيجة هي العنصر a_12 من النتيجة، وهكذا.

أمثلة على الضرب

مثال توضيحي بالرموز:

بفرض: A=\begin{bmatrix}{a}_{11}&{a}_{12}&{a}_{13}\\{a}_{21}&{a}_{22}&{a}_{23}\end{bmatrix}

B=\begin{bmatrix}{b}_{11}&{b}_{12}\\{b}_{21}&{b}_{22}\\ {b}_{31}&{b}_{32}\end{bmatrix}

فيكون:

A * B = \begin{bmatrix} ( {a}_{11} \times {b}_{11} + {a}_{12} \times {b}_{21} + {a}_{13} \times {b}_{31}) & ( {a}_{11} \times {b}_{12} + {a}_{12} \times {b}_{22} + {a}_{13} \times {b}_{32}) \\ ({a}_{21} \times {b}_{11} + {a}_{22} \times {b}_{21} + {a}_{23} \times {b}_{31}) & ({a}_{21} \times {b}_{12} + {a}_{22} \times {b}_{22} + {a}_{23} \times {b}_{32}) \end{bmatrix}


مثال بالأرقام:

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ( 1 \times 3 + 0 \times 2 + 2 \times 1) & ( 1 \times 1 + 0 \times 1 + 2 \times 0) \\ (-1 \times 3 + 3 \times 2 + 1 \times 1) & (-1 \times 1 + 3 \times 1 + 1 \times 0) \\ \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{bmatrix}.

مثال على تحويل من مجموعة إنطلاق إلى مجموعة وصول

لنعتبر مثلا الشعاع التالي:
V = \begin{bmatrix}{s}_{1}\\{s}_{2}\\{s}_{3}\\{s}_{4}\end{bmatrix} \in {R}^{4}
و المصفوفة التالية: A = \begin{bmatrix} {a}_{11}&{a}_{12}&{a}_{13}&{a}_{14}\\{a}_{21}&{a}_{22}&{a}_{23}&{a}_{24}\end{bmatrix}


عملية تحويل الشعاع تتم على نحو النحو التالي:
X = A*V = \begin{bmatrix} {a}_{11}&{a}_{12}&{a}_{13}&{a}_{14}\\{a}_{21}&{a}_{22}&{a}_{23}&{a}_{24}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}{s}_{1}\\{s}_{2}\\{s}_{3}\\{s}_{4}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{a}_{11}{s}_{1}+{a}_{12}{s}_{2}+{a}_{13}{s}_{3}+{a}_{14}{a}_{14}\\{a}_{21}{s}_{1}+{a}_{22}{s}_{2}+{a}_{23}{s}_{3}+{a}_{24}{s}_{4}\end{bmatrix}

وهكذا نكون قد حولنا شعاعا V ينتمي إلى R4 إلى شعاع X ينتمي إلى ال R2. أما عامة إذا كانت المصفوفة تحتوي على عدد m من الأسطر و n من الأعمدة فإنها تحول مجموعة الإنطلاق المكونة من أشعة تنتمي إلى ال Kn إلى مجموعة الوصول المتكونة من أشعة تنتمي إلى ال Km.
كما يمكن إعتبار المصفوفات نوعا خاصا من التنسورات ألا وهي التنسورات من الدرجة الثانية


حساب المحدد

حساب قيمة محدد الدرجة الثالثة: هناك طريقتان لحساب محدد مصفوفة من الدرجة الثالثة

الطريقة الأولى: 1. نكرر كتابة العمود الأول والثاني على الترتيب بعد العمود الثالث . 2. نكون مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليسار إلى اليمين ونطرح منه مجموع حاصل ضرب العناصر الواقعة على الخطوط المستقيمة المتجهة من اليمين إلى اليسار.

توضيح

a11 a12 a13 a11 a12

a 21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32


الطريقة الثانية:

ملحوظة: الطريقة الأولى لا تصلح للتطبيق على محددات المصفوفات حيث بينما الطريقة الثانية يمكن تعميمها على محدد أي مصفوفة مع الاستفادة من خواص المحددات السابقة للتقليل من العمليات الحسابية.


الفك عن طريق المتعاملات: إذا كانت مصفوفة من الدرجة نفرض أن هي المصفوفة الناتجة من المصفوفة A بعد حذف الصف رقمi والعمود رقم j في لمصفوفة A المحدد تسمى المحددة الصغرى للعنصر ويعرف متعامل العنصر بأنه

ولأي مصفوفة مربعة يتحقق الآتي مجموع حاصل ضرب عناصر أي صف أو عمود في متعاملاتها يعطي قيمة المحدد أي انه إذا كانت مصفوفة من الدرجة فان 1. ويسمى مفكوك المحدد حول الصف رقم i

2. 3. ويسمى مفكوك الصف حول العمود


بالنسبة للمصفوفات التي تكون من الدرجة الرابعة أو أكثر يستحسن تحويلها إلى مصفوفة مثلثية لتبسيط حساب المحدد و بالتالي يصبح يساوي جداء عناصر القطر الرئيسي للمصفوفة المثلثية الجديدة

حساب القيمة المطلقة لمصفوفة

يتم حساب القيمه المطلقه للمحدده اعتمادا على قيمه المحدده