مبرهنة التقوية الصغيرة

مبرهنة التقوية الضعيفة أو التقوية الصغيرة small gain theorem مبرهنة تسمح لنا بدراسة إستقرار النظم الخطية و اللاخطية سواء أن كانت من نوع سيزو أو ميمو أي سواء أن كانت ذا مدخل و مخرج واحد أو كانت ذات عدة مداخل و /أو مداخل.

مبرهنة التقوية الضعيفة

إذا كانت دالة تحويل النظام الغير موصل دائريا open loop

$Q (j w)$ مستقرة فإن النظام الموصل دائريا closed loop يكون مستقرا إذا كان ما يلي:

$\rho(Q(jw))< 1 \forall w$

حيث $ρ(A)$ تمثل القطر الطيفي للمصفوفة A أي :

$\rho(A)=max_{i}\left|(\lambda_{i}(A)\right|$

مع $λ(A)$ هي القيم الذاتية للمصفوفة A

ليما lemma

القطر الطيفي spectral radius لمصفوفة ما يكون دائما أصغر أو يساوي القيمة المطلقة المشتقة induced norm للمصفوغة A.

$\rho(A)\leq\left\|A\right\|_{i}$

صياغة أخرى لمبرهنة التقوية الصغيرة

بناء على الليما أعلاه فإنه يمكننا إعادة صياغة مبرهنة التقوية الضعيفة كما يلي: إذا كان النظام الغير موصل دائريا Q مستقر فإن النظام الموصل دائريا يكون مستقر في حالة كان ما يلي:

$\left\|Q\right\|_{i} < 1 \forall w$

إختيارنا للقيمة المشتقة 2 induced 2-norm يعطينا الصياغة التي تقول أن القيمة الفردية العليا maximum singular value يجب أن تكون أصغر من واحد حتى يكون النظام مستقرا.

في الأخير تجدر الإشارة إلى أن هذه المبرهنة أي شروطها كافية للإستقرار و لكنها ليست ضرورية أي أنه إذا تغيب شرط من من شروط هذه المبرهنة فإن النظام يمكن أن يكون مع ذلك مستقرا و إذا توفرت فيه شروط المبرهنة فإنه حتما مستقر.