قيمة فردية

القيمة الفردية singular value أو s number التابع لدالة تحويل ما أو لعملية operator ما, هو مفهوم رياضياتي يستعمل في تحليل الدلالات functional analysis و لها تطبيقات في مجال نظرية النظم system theory.

مقاربة نظرية النظم

في نظرية النظم عند دراسة دالة تحويل أنظمة ذات عدة مداخل و عدة مخارج لا يمكننا إجراء الدراسة على عناصر مصفوفة التحويل لأن ذلك يعقد المبرهنات و طرق بناء المتحكمات و الأنظمة لأننا يجب أن ندرس كل دالة التحويل في كل عنصر من عناصر مصفوفة التحويل ثم تأثير العناصر على بعضها. ففي حال مثلا أخذنا مصفوفة من البعد 3x3 (نظام من هذا الحجم يعتبر صغيرا) فإنه لدينا 9 عناصر في مصفوفة التحويل يجب دراستها. الآن إذا أردنا استعمال طرائق صورية graphical methods لدراسة الإستقرار كطريقة نايكويست مثلا فإن ذلك يصير معقدا (لدينا 9 صور لكل عنصر أي دالة تحويل صورة). هنا يمكن الإستعانة بالقيمة الفردية العليا للمصفوفة. القيمة الفردية في هذه الحالة تكون عبارة عن القيمة المطلقة المشتقة الثانية induced 2 norm حيث أنه إذا إعتبرنا النظام A و المدخل x فإن المخرج يكون Ax و القيمة المطلقة المشتقة الثانية للنظام A تكون كالآتي:
${ }^{sup}_{x,x\neq 0}\frac{\left\|Ax\right\|_{2}}{\left\|x\right\|_{2}}=\sqrt{\lambda_{max}(AA^{T})}$
حيث $\left\|.\right\|_{2}$ هي القيمة المطلقة الإقليدية

القيمة الفردية العليا للنظام الذي يمكن فهمها على أنها أكبر تقوية للنظام في إتجاه معين (أطول شعاع) و يرمز لها عادة ب $\overline{\sigma}$ كما يجدر الإشارة إلى أن كل تقويات النظام هي عبارة عن تمازج بين القيمة الدنيا و القيمة الفردية العليا

مقاربة رياضية

رياضيا إذا كان لدينا عملية T أو تحويل compact operator يعمل على فضاء هيلبرت فإن القيمة الفردية التابعة له هي القيمة الذاتية ل $\sqrt{TT^{T}}$ حيث $T T$ هي عملية transpositionعقدية