قيمة ذاتية

القيمة الذاتية لنظام ما أو بالأحرى في معادلة تفاضلية هو عدد يمكن أن يكون من الأعداد الصحيحة أو من الأعداد المعقدة.

مقاربة الرياضيات التفاضلية للقيمة الذاتية

حساب حل معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى:

فلنعتبر مثلا المعادلة التفاضلية البسيطة التالية(مع غض الطرف مبدئيا عن وجوب إعتبار الشروط الأولى أي initial conditions عند حساب الحل):

$A x = λ x$
$\dot{x}+10x=0$

و لنحاول البحث عن حل هذه المعادلة. المعروف هو أنه يمكن أن نقول أن حل هذالمعادلة هو:

$e c t$

أي أن $x = e c t$ و إذا عوضت x ب $e c t$ فإنك تتحصل على المعادلة التالية:

$\dot{(e^{ct})}+10e^{ct}=0$

أي $c e c t + 10 e c t = 0$

أي بعد أن نشطب $e c t$ من المعادلة فإنك تتحصل على المعادلة $c + 10 = 0$ و هذا بدوره يعني أن c=-10.

القيمة الذاتية

في عملية الحساب أعلاه وصلنا من معادلة تفاضلية من الدرجة الأولى إلى معادلة بسيطة لحساب القيمة الذاتية c ألا وهي المعادلة $- c + 10 = 0$ و يمكن تعميم هذه الطريقة أي كيفية الوصول من معادلة تفاضلية ذات درجة 2 أو 3 إلخ...إلى المعادلة لحساب القيمة الذاتية أو في هذه الحالة القيم الذاتية (لأن درجة العلاقة التفاضلية تتطابق دائما مع عدد القيم الخاصة التي تحسبها حيث يكون عليك في هذه الحالة حل (كثيرات حدود) بولينومات polynoms و أن تراعي طبعا أن بعض الحلول قد تكون مكررة أي أنه يجب أن تعدها عدة مرات حتى تكون ملاحظتي هذه صحيحة).
كما يجدر الإشارة إلى أن هذه الطريقة أو المعالجة حيث فقط للنظم أو المعادلات التفاضلية الخطية أي أنه في صورة إنعدام الخطية لا يمكن الحديث عن قيمة ذاتية.
كما أن القيمة الذاتية تعلمنا إذا كان نظام ما مستقرا (إذا كانت القيمة الذاتية سالبة) أو غير مستقر (إذا كانت القيمة موجبة). وهي كذلك دليل على سرعة النظام أو سرعة رده (إذا كانت القيمة المطلقة للقيمة الذاتية كبيرة فإن النظام سريع أي سرعة ردة فعله سريعة).

مقاربة الرياضيات الخطية للقيمة الذاتية