جبر ابتدائي

الجبر الابتدائي هو أبسط أنواع الجبر الذى يتم تدريسه لطلاب الرياضيات المفترض محدودية معرفتهم برياضيات ما بعد الأرقام.يشكل هذا الفرع من الجبر الذي يتعامل مع كثيرات الحدود والمعادلات وطرق إيجاد جذور المعادلات وطرق حلها. في هذا المقال نتعرض للجبر الابتدائي بداية ببديهياته مرورا بخواص العمليات الجبرية وانتهاء بأنظمة المعادلات الخطية.

فهرس

// قوانين الجبر الابتدائي
// المعادلات الخطية في متغير واحد
// أنظمة المعادلات الخطية
- إيجاد الحل بالعمليات على المعادلات
- إيجاد الحل بالتعويض
// حالات خاصة من أنظمة المعادلات الخطية
- أنظمة غير قابلة للحل
- أنظمة غير محددة
// اقرأ أيضا

قوانين الجبر الابتدائي

يعتمد الجبر الابتدائى على عمليتين أساسيتين هما الجمع والضرب. لكل من هاتين العمليتين عملية معاكسة. العملية المعاكسة للجمع هى الطرح. والعملية المعاكسة للضرب هى القسمة. يعتمد الجبر الابتدائى أيضا على رقمين بالغى الأهمية هما الصفر والواحد. يدعى الصفر بالمحايد الجمعى والواحد بالمحايد الضربى. يعتبر الواحد أيضا المولد الأساسى للجبر الابتدائي.

عملية الجمع

يتم تعريف عملية الجمع بتكرار جمع الرقم واحد والذى يغير النتيجة إلى الرقم التالى. فمثلا

أى رقم مجموع عليه واحد يساوى الرقم الذى يليه

$1 + 1 = 2 \,$

$2 + 1 = 3 \,$

أى رقم مجموع مع أى رقم اخر يتم تحليل أحدهما لمجموع الآحاد كما يلى

$2 + 2 = 2 + 1 + 1 = 3 + 1 = 4 \,$

$2 + 3 = 2 + 1 + 1 + 1 = 3 + 1 + 1 = 4 + 1 = 5 \,$

وهكذا.

خواص عملية الجمع

الجمع عملية تبديلية. وهذا يعنى أن ترتيب المعاملات حول عملية الجمع يساوى نفس النتيجة.

$a + b = b + a \,$

الجمع عملية تجميعية. وهذا يعنى أن ترتيب اجراء عملية الجمع لا يؤثر على النتيجة.

$a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c \,$

المحايد الجمعى (الصفر) هو الرقم الذى لا يؤثر على عملية الجمع.

$a + 0 = 0 + a = a \,$

الطرح عملية معاكسة للجمع.أى أن طرح أى رقم من رقم آخر يساوى الفرق بينهما الذى لو أضيف للرقم الثانى يساوى الرقم الأول.

$a - b = c \,$

$a = c + b \,$

وهذا يعنى أن طرح الرقم من نفسه لابد أن يساوى المحايد الجمعى (الصفر).

$a - a = 0 \,$

لأن

$a + 0 = a \,$

لذلك يتم تعريف المعاكس الجمعى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا.

المعاكس الجمعى لرقم $a$ هو الرقم $( - a)$ الذى يساوى مجموعهما الصفر.

$a + (-a) = 0 \,$

وهكذا تتحول عملية الطرح إلى عملية جمع باستبدال العدد المطروح بمعاكسه الجمعى أو العدد سالب

$a + (-b) = a - b \,$

عملية الضرب

يتم تعريف عملية الضرب بتكرار الجمع. فمثلا

$5 \times 2 = 5 + 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 \,$

وهكذا.

خواص عملية الضرب

الضرب عملية تبديلية. وهذا يعنى أن ترتيب المعاملات حول عملية الضرب يساوى نفس النتيجة.

$a \times b = b \times a \,$

الضرب عملية تجميعية. وهذا يعنى أن ترتيب اجراء عملية الضرب لا يؤثر على النتيجة.

$a \times (b \times c) = (a \times b) \times c = a \times b \times c \,$

الضرب عملية توزيعية على الجمع. وهذا يعنى أن اجراء عملية ضرب على مجموع رقمين يساوى مجموع حاصل ضرب العدد مع كل من هذين العددين.

$a \times (b + c) = a \times b + a \times c \,$

المحايد الضربى (الواحد) هو الرقم الذى لا يؤثر على عملية الضرب.

$a \times 1 = 1 \times a = a \,$

القسمة عملية معاكسة للضرب.أى أن قسمة أى رقم على رقم آخر يساوى الفرق في تكرار الجمع بينهما الذى لو أضيف للرقم الثانى يساوى الرقم الأول.

${a \over b} = c \,$

$a = c \times b \,$

وهذا يعنى أن قسمة الرقم على نفسه لابد أن يساوى المحايد الضربى (الواحد).

${a \over a} = 1 \,$

لأن

$a \times 1 = a \,$

لذلك يتم تعريف المعاكس الضربى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا.

المعاكس الضربى لرقم $a$ هو الرقم $(a - 1)$ الذى يساوى حاصل ضربهما الواحد.

$a \times (a^{-1}) = 1 \,$

وهكذا تتحول عملية القسمة إلى عملية ضرب باستبدال العدد المقسوم عليه بمعاكسه الضربى أو ما يسمى بمقلوب العدد

$a \times (b^{-1}) = {a \over b} \,$

قوانين المتساويات

اذا كان $a = b \,$ و $b = c \,$ إذن $a = c \,$

اذا كان $a = b \,$ إذن $b = a \,$

قوانين أخرى

اذا كان $a = b \,$ و $c = d \,$ إذن $a + c = b + d \,$

اذا كان $a = b \,$ إذن $a + c = b + c \,$ لأى رقم $c \,$

اذا كان $a = b \,$ و $c = d \,$ إذن $a \times c=b \times d\,$

اذا كان $a = b \,$ إذن $a \times c = b \times c \,$ لأى رقم $c \,$

اذا وجد متغيرين متساويين يمكن استبدال أحدهما بما يساويه الآخر.

اذا كان $a > b \,$ و $b > c \,$ إذن $a > c \,$

اذا كان $a > b \,$ إذن $a + c > b + c \times c \,$ لأى رقم $c \,$

اذا كان $a > b \,$ و $c > 0 \,$ اذن $a \times c > b \times c \,$

اذا كان $a > b \,$ و $c < 0 \,$ إذن $a \times c < b \times c \,$

المعادلات الخطية في متغير واحد

تعد المعادلة الخطية في مجهول واحد أبسط المعادلات على الإطلاق فهى تتكون من متغير واحد وبعض الثوابت العددية.

$2x+4=12\,$

الطريقة الأساسية لحل هذه المعادلة هى تطبيق العمليات الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة على طرفي المعادلة لنحصل على المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر. فثلا

$2x+4-4=12-4\,$

لتتبسط الى

$2x=8\,$

والآن نقسم الطرفين على $2\,$

${2x \over 2}={8 \over 2 \,}$

ويتم تبسيطها الى

$x=4\,$

الحالة العامة للمعادلات الخطية من الدرجة الأولى في متغير واحد هى كالتالى

$ax+b=c\,$

حيث $x\,$ هو المتغير و $a, b, c\,$ هم ثوابت عددية.

والحل العام لهذه المعادلة يكون

$x={{c-b}\over a}\,$

أنظمة المعادلات الخطية

تسمى مجموعة من معادلات الخطية بالنظام. فمثلا معادلتين في متغيرين $x\,$ و $y\,$

$\begin{cases}4x + 2y = 14 \\ 2x - y = 1\end{cases} \,$

يدعى نظام معادلات خطى في متغيرين. توجد طرق حل كثيرة لايجاد قيم $x\,$ و $y\,$ التى تحقق المعادلتين المعرفتين للنظام منها الجبرى والهندسى.

إيجاد الحل بالعمليات على المعادلات

بضرب طرفى المعادلة الثانية في 2.

$4x+2y=14\,$

$4x-2y=2\,$

بجمع المعادلتين نجد

$8x=16\,$

ومنها

$x=2\,$

وبالتعويض في أى من معادلتى النظام يمكن استنتاج

$y=3\,$

إيجاد الحل بالتعويض

يعتمد هذا الحل على التعويض بالمعادلة المعبرة عن $y\,$ لاستنتاج قيمة $x\,$ ومن ثم التعويض بقيمة $x\,$ المستنتجة لإيجاد قيمة $y\,$ .

بطرح $2x\,$ من طرفى المعادلة الثانية نجصل على

$2x-y-2x=1-2x\,$

ويتم تبسيطها إلى

$-y=1-2x\,$

وبضرب طرفى الأخيرة في $-1\,$ نحصل على

$y=2x-1\,$

وبالتعويض بما يساوى $y\,$ في المعادلة الأولى في النظام

$4x+2(2x-1)=14\,$

$4x+4x-2=14\,$

$8x-2=14\,$

وبجمع $2\,$ لطرفى هذه المعادلة نحصل على

$8x=16\,$ ومنها بالقسمة على $8\,$ تكون

$x=2\,$

وبالتعويض بقيمة $x\,$ في أى من معادلتى النظام تكون

$y=3\,$

حالات خاصة من أنظمة المعادلات الخطية

فى المثال السابق تمكننا من إيجاد حل يحقق المعادلات الموصفة للنظام. ولكن توجد أنظمة أخرى ليس لها حلول إما لأنها غير قابلة للحل أو غير محددة.

أنظمة غير قابلة للحل

يعد المثال التالى أبسط الأمثلة على للأنظمة غير قابلة للحل

$\begin{cases} x + y = 1 \\ 0x + 0y = 2 \end{cases}\,$

وذلك بسبب أن المعادلة الثانية ليس لها حل.

هناك أنظمة أخرى مثل

$\begin{cases}4x + 2y = 12 \\ -2x - y = -4 \end{cases}\,$

عند إيجاد حل لهذا النظام نجد

$y = -2x + 4 \,$

وبالتعويض

$4x + 2(-2x + 4) = 12 \,$

$4x - 4x + 8 = 12 \,$

$8 = 12 \,$

تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة غير صحيحة. اذا نتج عن هذا التعويض متساوية صحيحة يكون هذا النظام غير محدد.

أنظمة غير محددة

فى المثال التالى

$\begin{cases}4x + 2y = 12 \\ -2x - y = -6 \end{cases}\,$

بعزل $y\,$ يكون

$y = -2x + 6 \,$

و بالتعويض

$4x + 2(-2x + 6) = 12 \,$

$4x - 4x + 12 = 12 \,$

$12 = 12 \,$

تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة صحيحة. السبب الرئيسى في عدم وجود حلول محددة لهذا النظام هو أن أحد المعادلتين يساوى الأخرى مضروبة في ثابت. وتدعى هذه المعادلات متوازية.