انحراف معياري

بيان الانحراف المعياري

في الإحصاء و نظرية الإحتمالات يعتبر الانحراف المعياري القيمة الأكثر استخداما من بين مقاييس التشتت الإحصائي لقياس مدى التبعثر الإحصائي، أي أنه يدل على مدى امتداد مجالات القيم ضمن مجموعة البياننات الإحصائية .

و " التباين " Variance وهو معدل مربعات انحرافات العلامات في التوزيع عن الوسط الحسابي. ويكون الانحراف المعياري Standard deviation عندها الجذر التربيعي للتباين بالنسبة لمجموعة البيانات الإحصائية .

يتأثر التباين أو الانحراف المعياري بالقيم المتباعدة او المتطرفة ولكنه لا يتأثر كثيرا بالتغيرات التي تطرأ على العينة, كما أنهما يرتبطان بالوسط الحسابي للتوزيع، بمعنى ان التشتت الذي نعبر عنه بالتباين او الانحراف المعياري ينسب إلى الوسط الحسابي وليس لاي نقطة اخرى في التوزيع.

مثال على حساب الانحراف المعياري

سنأخذ هذا المثال البسيط على حساب الانحراف المعياري لكل من الرقمين 8 و4.

الخطوة 1: احسب الـمتوسط حسابي للرقمين.

$(4 + 8) / 2 = 6$

الخطوة 2: احسب انحراف كل من الرقمين السابقين عن الـمتوسط حسابي.

$4 - 6 = - 2$

$8 - 6 = 2$

الخطوة 3: قم بتربيع الانحرافين:

$)( - 2) 2 = 4$

$(2) 2 = 4$

الخطوة 4: اجتمع التربيعين الناتجين:

$4 + 4 = 8$

الخطوة 5: قم بتقسيم الناتج على عدد القيم (وهو في مثالنا 2):

$8 / 2 = 4$

الخطوة 6: قم بإيجاد الجذر التربيعي الموجب:

$\sqrt{4}=2.$

إذاً الانحراف المعياري هو 2.

حساب الانحراف المعياري لمتغير

نفرض أن لدينا المتحولات $\scriptstyle x_1,\dots,x_N$ ، يعطى الانحراف المعياري لهذه القيم بالعلاقة:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2}.$

حيث أن N هو عدد المتحولات. ويمكن تبسيط العبارة السابقة إلى التالي:

$\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \left(\sum_{i=1}^N x_i^2 - N\overline{x}^2\right)}.$

يمكن البرهنة على ذلك بواسطة العملية الجبرية التالية:

$\begin{align} \sum_{i=1}^N (x_i - \overline{x})^2 & = {} \sum_{i=1}^N (x_i^2 - 2 x_i\overline{x} + \overline{x}^2) \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - \left(2 \overline{x} \sum_{i=1}^N x_i\right) + N\overline{x}^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2 \overline{x} (N\overline{x}) + N\overline{x}^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - 2N\overline{x}^2 + N\overline{x}^2 \\ & {} = \left(\sum_{i=1}^N x_i^2\right) - N\overline{x}^2. \end{align}$