الضرب ( Multiplication )
☰ جدول المحتويات
الضَّـرْبُ طريقةٌ مختصرةٌ لجمع أو عدِّ أعداد متساوية. وهو إحدى العمليَّات الأساسية الأربع في الحساب إلى جانب كلٍّ من الجمع والطَّرح والقسمة.
افترض أنَّك تريد أنْ تعرف كم ستكلف ست علب من الحلوى، علما بأن العلبة الواحدة تُكلف 5 ريالات؟ تستطيع أن تجد الجواب عن طريق الجمع: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 30 ريالاً. مع ذلك من الأيسر تعَلُّم أن: 6 خمسات تُكَوِّن 30. ومعرفة مثل هذه الحقائق هو أساس عملية الضَّرب.
| مصطلحات الضرب | ||||||||||||||
|
تعلّم الضَّرب
يتعلَّم كثيرٌ من النَّاس الضَّرب بتذكر حقائق وقواعد الضَّرب ؛ إذ لا يدرك الناس غالبًا، الأساليب التي يستعملونها في الضرب. وأفضل طريقة لتتعلم كيف تضرب أن تكتشف كيف يعمل الضرب.
كتابة الضرب:
نشير للعمليات في الحساب عن طريق الرموز، ورمز الضرب هو ×. فالعبارة 6 × 5 = 30 تعني أن "6 خمسات تكوِّن 30 " ويقول الناس أيضا " 5 مضروبة في 6 تكون 30" أو "6 أضعاف 5 تكون 30". ويطلق مسمى المضروب على العدد الذي يضرب أو يجمع إلى نفسه عددا من المرات. أما العدد الذي نضرب به أو عدد المرات التي يجمع فيها المضروب إلى نفسه، فيسمى المضروب فيه. وأما الناتج أو الجواب فإنه يسمى حاصل الضرب. وفي العادة تكتب مسألة الضرب على النحو التالي: |
ولا حاجة إلى كتابة الأسماء في كل مرة، لكن من المهم أن تحافظ على الأعمدة مستقيمة عندما تضرب أعدادا أكبر. وتعلُّم إدراك قيمة المنزلة أمر مهم في تعلم الضرب. ★ تَصَفح: النظام العشري.
 |
 صورة الجنود توضح إحدى الحقائق المتعلقة بعملية الضرب |
حقائق الضرب:
عبارة مثل 6×5=30 تسمى حقيقة ضرب. وهي مكونة من مضروب فيه ومضروب وحاصل ضرب. ويجب أن تستعمل الجمع كي تكتشف حقائق الضرب. فمثلا: 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 =30. وبعد أن تكتشف حقيقة الضرب يجب أن تحفظها، وبمعرفتك لحقائق الضرب المائة تستطيع أن تضرب أي أعداد.ويمكن تعلم معظم حقائق الضرب بسهولة. فإذا لعبت لعبة وأحرزت صفرًا أربع مرات فإن مجموع النقاط التي حصلت عليها يكون صفرًا، لأن 4 × 0 = 0 ويعطي ضرب الصفر بأي عدد صفرا، وضرب أي عدد بصفر يعطي ـ أيضًا ـ صفرا. لقد تعلمت الآن 19 حقيقة من حقائق الضرب!
حقائق الضرب المائلة أو جدول الضرب |
 |
أما إذا تمكنت من تسجيل نقطة واحدة أربع مرات، فإن مجموع النقاط التي حصلت عليها يكون 4، لأن 4 × 1 = 4. بالمثل 5 × 1 = 5 و6 × 1 = 6 و8 × 1 = 8. وضرب 1 بأي عدد يعطي ذلك العدد، كما أن ضرب أي عدد بالعدد 1 يعطي أيضا العدد نفسه. لقد عرفت الآن 17 حقيقة أخرى من حقائق الضرب.
يوضح صندوقا البيض في الشكلين أدناه قاعدة مهمة في الضرب.
 |
يحتوي كل صندوق على 12 بيضة. ويمكنك النظر إلى صندوق البيض في الناحية اليسرى بطريقتين ؛ بإمكانك القول: إنه توجد 6 صفوف من البيض، في كل صف بيضتان. أو بإمكانك القول: إنه يوجد صفان من البيض في كل صف 6 بيضات. وأيضا يمكنك النظر إلى صندوق البيض في الناحية اليمنى بطريقتين ؛ بإمكانك القول: إنه توجد 4 صفوف من البيض في كل صف منها 3 بيضات، أو يمكنك القول: إنه يوجد 3 صفوف من البيض في كل صف منها 4 بيضات. من هذا تتضح حقائق الضرب التالية:
| 6 × 2 = 12 | 4 × 3 = 12 | |
| 2 × 6 = 12 | 3 × 4 = 12 |
يظهر من تلك الأمثلة أن الأعداد يمكن أن تضرب بأي ترتيب، وهو ما يعرف بالخاصية الإبدالية للضرب. وأن حواصل الضرب ستبقى دائما هي نفسها دون تغيير. ومعرفة هذه القاعدة سيخفض عدد حقائق الضرب الواجب تعلمها من 100 إلى 55.
وتساعد معرفة المربعات على تعلم حقائق الضرب. والمربع هو ضرب عدد بنفسه. وإليك المربعات التي تساعد في تعلم حقائق الضرب:
| 2 × 2 = 4 | 5 × 5 = 25 | 8 × 8 = 64 | ||
| 3 × 3 = 9 | 6 × 6 = 36 | 9 × 9 = 81 | ||
| 4 × 4 = 16 | 7 × 7 = 49 |
يمكنك عمل صور للمربعات عن طريق نقاط. وتظهر هنا صور بالنقاط لمربعي العددين 6و7.
 |
اذا أضفت صفاً من 6 نقاط إلى الصورة الأولى سيكون لديك 7 ستات. هذا يبين أن 36 + 6 = 42 أو 7 × 6 = 42. وإذا استبعدت صفًا من النقاط من الصورة الثانية سيبقى لديك 6 سبعات، وهذا يبين أن 49 - 7 = 42 أو 6 × 7=42. ويساعد استخدام الرسومات النقطية على تعلم حقائق الضرب. فمثلاً تستطيع عمل مربع يحوي 4 نقاط لبيان 2 × 2، وعمل مربع آخر يحوي 9 نقاط لبيان 3× 3، وعمل مربع ثالث يمكن أن يبين 4 × 4، وهكذا.
يحتاج تعلم حقائق الضرب إلى وقت ودراسة، لكن معرفة حقائق الضرب أمر ضروري كي تصبح ماهرا في الضرب.
وبإمكانك أن تصبح أفضل في الحساب إذا تعلمت حقائق الضرب. وحقائق القسمة هي عكس حقائق الضرب. ★ تَصَفح : القسمة.
الضرب برقم واحد
كل عدد من 0 إلى 9 يدعى رقما. فالعدد 26 عدد ذو رقمين. أما العدد 514، فهو مؤلف من ثلاثة أرقام. ويأخذ الرقم قيمته من المنزلة التي يحتلها في العدد.
فالمنزلة الأولى من اليمين مخصصة للآحاد، والمنزلة التي تليها إلى اليسار مخصصة للعشرات، والتي تليها للمئات وهكذا. فمثلاً في الرقم 347 ؛ الثلاثة تعني3 مئات، والأربعة تعني 4 عشرات، والسبعة تعني 7 آحاد. واعتمادًا على منزلته فان الرقم 2 يمكن أن يعني 2 من الآحاد (2)، أو عشرتين (20)، أو مائتين (200)، أو الفين (2000). وبضم فكرة المنزلة إلى حقائق الضرب تستطيع ضرب أعداد كبيرة.
ويبين المثال التالي الخطوات التي يتطلبها حل مسألة ضرب باستعمال أكثر من حقيقة من حقائق الضرب. يوجد في فصل دراسي 32 طالباً، يستعمل كل طالب ورقة واحدة في اليوم. فكم ورقة يحتاجون لمدة ثلاثة أيام ؟ باستطاعتنا حل المسألة باستعمال الجمع: 32+32+32=96. سيحتاج الفصل إلى 96 ورقة خلال 3 أيام، ولكن الضرب أسرع وأسهل. فالعدد 32 يتكون من ثلاث عشرات واثنين من الآحاد. والفكرة الأساسية هي ضرب الآحاد أولاً في 3 ثم ضرب العشرات بعد ذلك.
 |
أولاً تضرب الرقم 2 من منزلة الآحاد في 3، أي 3×2=6 وتكتب الرقم 6 في منزلة الآحاد من حاصل الضرب. وبعد ذلك تضرب الرقم من منزلة العشرات في 3، أي 3×30=90. والعدد 90 يساوي 9 عشرات، لذلك تكتب الرقم 9 في منزلة العشرات من حاصل الضرب. وضربك لعدد من ثلاث منازل برقم واحد يتم بالطريقة نفسها:
 |
أولاً تضرب الرقم 2 من منزلة الآحاد في 4، أي 4×2=8، وتكتب الرقم 8 في منزلة الآحاد من حاصل الضرب. بعد ذلك تضرب الصفر من منزلة العشرات في 4، أي 4×0=0 وتكتب صفر في منزلة العشرات من حاصل الضرب. بعد ذلك تضرب الصفر من منزلة العشرات في 4، أي 4×0=0 و تكتب صفر في منزلة العشرات من حاصل الضرب، ثم تضرب المئات الثلاث في 4، أي 4 × 300 = 1,200، وتكتب الرقم 12 في منزلتي المئات والآلاف من حاصل الضرب. فيكون الجواب 1,208.
وعندما تضرب عدداً كبيراً في رقم واحد، يجب عليك أن تضرب ذلك الرقم في كل رقم من أرقام العدد الأكبر ـ الآحاد، العشرات، المئات، الآلاف إلخ ـ رقم واحد في كل مرة. وعند قيامك بالضرب يجب عليك أن تدون حاصل الضرب في كل خطوة - الآحاد، العشرات، المئات، الآلاف.. وهكذا
كيفية الحمل في الضرب
يتعلم التلاميذ كيفية الحمل عندما يتعلمون الجمع. فعندما تجمع عدة أعداد يمكن أن يكون مجموع عمود الآحاد عشرة. وعليك أن تحمل أو تضيف هذة العشرة إلى عمود العشرات، عن طريق كتابة واحد مصغر فوق عمود العشرات. ويماثل الحمل في الضرب الحمل في الجمع:
 |
عندما تجمع 12 ثماني مرات فإن مجموع 2 ثماني مرات يكون 16، أو 10 واحدة و6 آحاد. اكتب الآحاد الستة في منزلة الآحاد من المجموع وتضيف الـ 10 إلى عمود الثماني عشرات بكتابة 1 في أعلى ذلك العمود. يعطيك جمع الواحد إلى نفسه في عمود العشرات 9 عشرات، فتكتب 9 عشرات في منزلة العشرات من المجموع. ولكي تضرب 8 × 12 فإنك تضرب الآحاد أولاً أي 8 × 2 = 16. اكتب الـ 6 آحاد في منزلة الآحاد من حاصل الضرب، واكتب 1 كي يجمع إلى حاصل ضرب 8×1، الذي كتب في منزلة العشرات. فيكون 8 × 1 = 8، و 8 + 1 = 9، وتكتب الـ 9 عشرات في منزلة العشرات من حاصل الضرب. تأكد أنك تضرب أولاً ثم أضف العدد المحمول إلى حاصل الضرب.
الضرب بأعداد كبيرة
إذا كان المضروب فيه مكوناً من أكثر من رقم فنحن بصدد إدخال فكرة جديدة على عملية الضرب هي فكرة استخدام حاصل الضرب الجزئي. ولعل أفضل طريقة لتعلم هذه الفكرة هي المثال التالي:
أراد جمال أن يعرف كم كرتوناً من الحليب استهلكت مدرسته الشهر الماضي. فقد استهلكت 323 كرتوناً يومياً لمدة 23 يوماً.
 |
المضروب فيه، أي 23، مؤلف من رقمين: عشرتين وثلاثة آحاد. لذا يجب النظر إليه كأجزاء منفصلة. فتضرب أولاً 312 في 3 آحاد، فيكون 3×2=6 وتكتب الـ 6 في منزلة الآحاد من حاصل الضرب، ثم 3×1=3، و 3×3=9، وتكتب الـ 3 و الـ 9 في منزلتي العشرات والمئات من حاصل الضرب. فيكون حاصل ضرب 3×312 هو حاصل ضرب جزئي. بعد ذلك تضرب 312 في العشرتين، وتكتب الحاصل من هذا الضرب تحت حاصل الضرب الجزئي الأول. وتبدأ كتابة حاصل الضرب الجزئي الجديد من المنزلة الثانية إلى اليسار، أي منزلة العشرات، لأن 312 قد ضربت الآن بعشرات وليس بآحاد. أولاً 2×2=4، وهذه 4 عشرات، فتكتب الـ 4 تحت منزلة العشرات من حاصل الضرب الجزئي الأول. بعد ذلك 2×1=2، و 2×3=6، وتكتب الـ 2 والـ 6 في منزلتي المئات والآلاف من حاصل الضرب الجزئي الثاني. الآن يجب جمع حاصلي الضرب الجزئيين، حيث حاصل الضرب الجزئي الأول هو 3×312، أو 936، وحاصل الضرب الجزئي الثاني هو 20×312، أو 6,420، وبالتالي فإن 936+6,420 = 7,176. فيكون الجواب: تستهلك المدرسة 7,176 كرتوناً من الحليب في 23 يومًا.
والضرب في عدد من ثلاثة أرقام مماثل للضرب في عدد من رقمين إلا أنه يحتوي على ثلاثة حواصل جزئية بدلاً من اثنين. وعند استعمالك لجزء المئات من المضروب فيه في مسألة فيها المضروب فيه مؤلف من ثلاثه أرقام، تذكر أن تبدأ كتابة حاصل الضرب في منزلة المئات.
 |
لاحظ أن حاصل الضرب الجزئي الخاص بـ 2×123 يبدأ من عمود المئات تحت الـ 2 مباشرة.
لاتكتب الأعداد المحمولة عند ضرب أعداد كبيرة، بل يجب أن تحملها في عقلك، لأنك إذا كتبت الأعداد المحمولة فمن الممكن أن تخلطها بسهولة مع الأعداد المحمولة من جزء آخر من المضروب فيه.
الضرب بالصفر
الأصفار المضمومة لأرقام أخرى تمثل عشرات أو مئات الآلاف ... إلخ. وعندما يوجد أصفار في المضروب فيه باستطاعتك تقصير عملية الضرب.
 |
في المثال الأيسر ترى أنه لايوجد آحاد في منزلة الآحاد، لذلك تستطيع أن تكتب صفرًا لإظهار منزلة الآحاد، وأن تكتب حاصل ضرب العشرتين على الخط نفسه وهذا يختصر العمل. ويجب أن تكون حذراً عندما تستعمل هذا الأسلوب مع مضروب فيه مؤلف من ثلاثة أرقام منتهياً بصفر. فالصعوبة تكمن في اختيار مكان لحاصل الضرب الجزئي الثاني:
 |
عليك أن تبدأ حاصل الضرب الجزئي الثاني من منزلة المئات لأن 3، وهو الجزء المستعمل من المضروب فيه، تمثل مئات. يجب أن تتحقق دائماً من منزلة المضروب فيه، عندما تكتب حاصل ضربه الجزئي.
وهنالك طريقة سهلة للضرب في 10 أو 100 أو 1,000 أو المضاعفات الأخرى للعد 10، وهي إلحاق الأصفار، وهذا يعني وضع الأصفار في نهاية العدد:
10×2 =20 و 100×2=200 و1,000×2=2,000
ولوضع ذلك كقاعدة فإن ذلك يعني أنه للضرب في 10 يضاف صفر إلى المضروب، وللضرب في 100 يضاف صفران إلى المضروب، وللضرب في 1000 تضاف ثلاثة أصفار إلى المضروب.
وتستطيع أن تعمم هذا الأسلوب:
400 × 12 = 4,800
تضرب 12 في 4 ومن ثم تضيف صفرين.
وعندما تضرب أعداداً أكبر فمن الممكن أن يوجد صفر في منزلة العشرات من المضروب فيه:
 |
في هذه الحالة تكتب صفراً في منزلة العشرات من حاصل الضرب الجزئي الثاني. وهذا للتأكد من أنك بدأت حاصل الضرب الجزئي التالي من منزلة المئات.
كيفية التحقق من الضرب
يجب عليك دائمًا التحقق من الجواب في الضرب للتأكد من أنك حللت المسألة بشكل صحيح. فقد رأيت أن الأعداد يمكن أن تضرب بأى ترتيب وأن حاصل الضرب يبقى نفسه دون تغيير. فمثلاً : 2 × 4 = 8 و4 × 2 = 8. ولذا فإن أفضل طريقة للتحقق من حاصل الضرب هى تبديل الأماكن للمضروب فيه والقيام بالضرب مرة أخرى:
 |
فحواصل الضرب في الحالتين هي نفسها، لكن حواصل الضرب الجزئية مختلفة. وإذا ارتكبت غلطة في إحدى الطريقتين فمن الأرجح أنك لن تكررها في الطريقة الأخرى. وإذا اختلفت الإجابتان، فإنك تستطيع تحديد مكان غلطتك.
وعندما تضرب عدداً كبيراً في رقم واحد فإنك تستطيع التحقق من الضرب بسهولة بقسمة حاصل الضرب على ذلك الرقم. ★ تَصَفح: القسمة.
 |
قواعد الضرب
ستساعدك القواعد الخمس التالية على حل مسائل الضرب:
1 -تذكر أن الضرب طريقة مختصرة لجمع أعداد متساوية وأن المضروب فيه يخبرك كم مرة يجمع عدد إلى نفسه.
2 -تعلم معاني حقائق الضرب وتعلم استرجاعها بسرعة. وتذكر أن العدد المضروب في صفر يكون صفراً، وأن العدد المضروب في واحد يكون العدد نفسه. تذكر أيضاً أن ضرب الصفر بأي عدد يكون صفراً.
3 -تذكر الأساليب المتبعة للضرب برقم واحد أو أكثر. اضرب الآحاد، العشرات، المئات، والآلاف من المضروب فيه الواحد تلو الآخر، واكتب النتيجة في حاصل الضرب. ويجب أن تستعمل حواصل الضرب الجزئية عندما يكون المضروب فيه مؤلفاً من رقمين أو أكثر.
4 -قيمة المنزلة لها أهمية كبيرة في الضرب. حافظ دائماً على استقامة الأعمدة، وابدأ كتابة الحاصل تحت الرقم الذي تستعمله من المضروب فيه.
5 -تعلم التحقق من الجواب بعد انتهائك من مسألة الضرب، وتستطيع عمل ذلك بتغيير الأماكن للمضروب والمضروب فيه وإجراء الضرب مرة أخرى.
التسلية بالضرب
كثير من الألعاب التي يمكن لعبها باستعمال حقائق الجمع والطرح والقسمة، يمكن تعديلها قليلاً كي تستعمل فيها حقائق الضرب.
حاصل الضرب:
يلعب حاصل الضرب من قبل مجموعة من الأطفال يجلسون في دائرة. يختار القائد عدداً مثل 5، ويبدأ اللاعب الذي يلي القائد مباشرة بـ1، وتأخذ المجموعة بالعد إلى اليسار. وعندما يصل العد إلى أحد حواصل ضرب العدد 5 ينادي اللاعب ¸حاصل الضرب· بدلاً من ذكر ذلك العدد. فيجري العد على النحو التالي : ¸1، 2، 3، 4، حاصل الضرب، 6، 7، 8، 9، حاصل الضرب·، وهكذا. واللاعب الذي ينسى أن يقول: حاصل الضرب يخرج من اللعبة فيكون الفائز هو آخر لاعب يبقى من المجموعة. |
الضرب باستخدام الأصابع:
هو طريقة أخرى للتسلية. فباستخدام الأصابع، تستطيع ضرب 5، 6، 7، 8 أو 9 في 5، 6، 7، 8 أو 9.افرض أنك تريد أن تضرب 8×6. أغلق الأصابع في كلتا اليدين، ثم افتح ثلاث أصابع من اليد اليسرى، فتمثل الخمس المغلقه في اليد اليمنى والثلاث المفتوحة من اليد اليسرى العدد 8. افتح الآن إصبعاً واحدة من اليد اليمنى لتمثل الخمس التي كانت مغلقة والواحدة التي فتحتها الآن من اليد اليمنى العدد 6. يجب أن تكون الآن 3 أصابع مفتوحة من اليد اليسرى، وإصبع واحدة مفتوحة من اليد اليمنى، فيكون هذا رقم العشرات من الجواب: اجمع الأصابع المفتوحة 3 + 1 = 4، إذن يوجد 4 عشرات في الجواب. أما الأصابع المغلقة فإنها تعطي رقم الآحاد في اليد اليسرى و 4 مغلقة في اليد اليمني. اضرب هذه الأعداد لتحصل على رقم الآحاد، وهو 2 × 4 = 8. اجمع العشرات والآحاد: 4 عشرات و 8 آحاد يكون 48. يبين هذا أن 8× 6 = 48.
مثال آخر 9*7. ابدأ بالأصابع مغلقة. افتح 4 أصابع من اليد اليسرى لتمثل 9 (4 + 5 = 9). افتح اثنتين من أصابع اليد اليمنى لتمثل 7 (5 + 2 = 7). اجمع الأصابع المفتوحة 4 + 2 = 6 فيكون هذا رقم العشرات. توجد إصبع واحدة مغلقة في اليد اليسرى، وثلاث أصابع مغلقة في اليد اليمنى. اضرب تلك الأعداد لتحصل على رقم الآحاد، وهو 1 × 3 = 3. اجمع الـ 6 عشرات إلى الثلاثة الآحاد 60 + 3 = 63. يبين هذا أن 9 × 7 = 63.
أمثلة للتمرين على الضرب |
 |
19-كم طابع بريد لدى جمال في ألبومه لجمع الطوابع إذا كان في الألبوم خمس صفحات وفي كل صفحة 48 طابعًا؟
20- إذا كان ثمن الكتاب الواحد 2,25 ريالاً فما ثمن خمسة كتب؟
21- يقود خالد دراجته بسرعة 8كم في الساعة لمدة 3 ساعات فما المسافة التي سيقطعها؟
22-ماالمسافة التي تقطعها سيارة السيد سالم بـ10 لترات من الوقود، إذا كانت تقطع 15كم باللتر الواحد؟
23- تكلف دستة (درزن) أقلام الحبر 58 ريالاً. كم ستكلف 6 دستات.
24- تخطط أربع أمهات للخروج للنزهة على أن تحضر كل واحدة منهن 12 علبة من البسكويت. فكم سيكون عدد علب البسكويت التي يحضرنها.
إجابات أمثلة التمرين |
 |