العامل الحسابي ( Factor )
العَامل الحسابي أي عدد من الأعداد التي إذا ضرب بعضها في بعض تعطي العددَ الأصلي. فمثلاً، الأعداد 3 و 4 هي عوامل لـ 12 لأن 3 × 4 = 12. والعوامل الصحيحة الأخرى للعدد 12 هي 2 و6 ، والعددان، 1 و12. ويزودنا تحديد العوامل بفهم أعمق لواحد من العلاقات الكبيرة بين الأعداد.
وكل عدد صحيح، فيما عدا الواحد، يمكن تقديره كحاصل ضرب عاملين على الأقل. والعدد الذي له عاملان مختلفان فقط ـ العدد نفسه والعدد واحد ـ يُسمى عددًا أوليا أو عددًا أصَمّ. فالعدد 7 عدد أوَّلي لأن عامِلَيْهِ هما العدد 1 والعدد 7 فقط. وأصغر الأعداد الأولية الثمانية هي 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، 17 ، و19. والعدد الذي له أكثر من عاملين يسمّى عددًا غير أولي. فالعدد 4 عدد غير أولي لأن له ثلاثة عوامل هي : 1، 2، 4. أصغر الأعداد غير الأولية الثمانية هي 4 ، 6 ، 8 ، 9 ، 10 ، 12 ، 14، 15. والعدد واحد ليس عددًا أوليّا أو غير أولي.
العوامل الأولية:
هي الأعداد الأولية التي إذا ضُربت في بعضها ينتج العدد. وكل عدد هو ناتج مجموعة واحدة فقط من الأعداد الأولية . فمثلا، 24 يمكن تقديرُه كحاصل ضرب أعداد أولية هي 2 × 2 × 2 × 3، والعوامل الأولية للعدد 24 هي 2 و 3.وللحصول على العامل الأولي لأي عدد، قسِّم العدد على أي عدد أوَّلي يدخل فيه بالتساوي. ومن الأسهل عادة أن تَستخدم أصغر عدد أولي يُقسِّم العدد بالتساوي. مثلا، لكي تحصل علي العوامل الأولية للعدد 220 تبدأ بالتقسيم على 2 (220 ÷ 2 = 110).
واصل تقسيم خارج القسمة على 2 إلى أن يستحيل تقسيمه على 2 (110 ÷ 2 = 55) ، فالعدد 55 لا يمكن تقسيمه على 2 بدون باق. كذلك العامل التالي، 3 لا يمكن تقسيم 55 عليه بدون باق. غير أن العامل الأولي الأكبر، 5 يمكن أن يقسم 55 عليه بدون باق (55 ÷ 5 = 11). والعدد 11 ، مثل 2 و 5 عدد أولي. إذن فالتحليل الأولي للعدد 220 هو 2 × 2× 5 × 11، والعوامل الأولية هي 2 ، 5 ، 11. ويعتبر حاصل ضرب 2 × 2 × 5 × 11 (بأي ترتيب) هو الطريقة الوحيدة التي يمكن بها تقدير العدد 220 كحاصل ضرب الأعداد الأولية. وهذه العملية يمكن بيانها كما يلي :
 |
والعوامل الوحيدة لأي عدد أوَّلي هي العدد نفسه والعدد واحد.
العواملُ المشتركة :
عندما يكون عدد ما عاملاً لاثنين أو أكثر من الأعداد، فإنه يُسمَىَّ العامل المشترك، ويسمى أكبرها العامل المشترك الأكبر وهو أيضًا القاسم المُشتَرك الأكبر، حيث إن عامل أي عدد هو أيضًا قاسم ذلك العدد. فالعددان 30 ، 45، مثلا، لهما أربعة عوامل مشتركة : 1 ، 3 ، 5 ، 15 ، والعامل المشترك الأكبر هو 15. ولكي تحصل على العامل المشترك الأكبر لعددين أو أكثر، عليك أولا الحصول علي مجموعة كل العوامل لكل عدد . ثم بعد ذلك اختر أكبر عامل يوجد في كل المجموعاتفالعامل المشترك الأكبر للأعداد 18 ، 30 ، 42 في هذا المثال هي كما يلي :
|
الأعداد الأولية المُرتَبطَة:
يطلق على أي عددين ليس بينهما عوامل مشتركة بخلاف الواحد، أعداد أولية مرتبطة أو أعداد أولية بالنسبة لبعضها بعضًا، فمثلا ، عوامل 12 هي :1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 6 ، 12
وعوامل 35 هي : 1 ، 5 ، 7 ، 35 .
والعددان 12 و 35 ليس بينهما عوامل مشتركة غير الواحد . ولذلك، يقال: إنها أعداد أولية مرتبطة .
العوامل الجبرية:
المقادير الجبرية (2س + 4 هو مقدار جبري) أيضًا لها عوامل ، فمثلا : 1 ، 3 ، أ ، ب ، أ ب عوامل لـ (3 أب). والمقادير 1 ، أ ، أ²، ب ، أ²ب هي عوامل لـ أ² ب. وتحصل على عوامل المقادير الجبرية بنفس الطريقة التي تتم بالنسبة للأعداد الصحيحة . فضرب، أ ب × (أ² + ب²) يعطي 2 أ ب + 4 أب² ، إذن 2 أب و2 ب هي عوامـل لـ 2 أ² ب× 4 أب². العوامل الأخرى لـ 2أ²ب + 4 أب²هي 1 ، 2 ، أ ، ب ، أب.المقدار أ²+ ب² لا يمكن تحليله إلى عوامل باستخدام أعداد حقيقية فقط . إذ أن عوامله أعداد مركبة . والعدد المركب هو المجموع الكُليِّ لعدد حقيقي وعدد تخيُّلي ، أي الجَذْر التَّربيعي لعدد سَالب.
★ تَصَفح أيضًا: الجبر ؛ أنظمة الأعداد.