نهاية رياضية

مواضيع في التحليل الرياضي

التفاضل

تكامل

النهاية في الرياضيات، هي مفهوم أساسي في التفاضل والتكامل, وهي وببساطة القيمة التي تقترب منها قيمة دالة ما لدى إقتراب المتغير السيني من قيمة معينة (حتى يكاد الفرق بين هذه القيمة القريبة والقيمة الحقيقية يصل الصفر(قد يساويه إذا كانت الدالة ثابتة مثلا)). نشأ مفهوم النهاية في إطار الحاجة لحساب الأطوال والمساحات والحجوم لأشكال مثل الدائرة والكرة، ويعد مفهوم النهاية تطويرا لطريقة الاستنفاذ التي عرفها اليونانيون القدماء والتي استخدمها أرشميدس لحساب مساحة الدائرة.

ويتلخص مفهوم النهاية في أنه طريقة لإيجاد القيمة التي يجب أن يأخذها متغير تابع عندما يؤول المتغير المستقل إلى قيمة معينة، وذلك حتى عندما يتعذر حساب المتغير التابع مباشرة من قواعد الحساب والجبر.

كمثال: ما القيمة التي يصل إليها المقدار $sin(x) / x$ عندما تؤول $x$ إلى الصفر؟

من الواضح أن التعويض المباشر في هذه الصيغة يعطي خارج قسمة صفر على صفر، وهي كمية غير معرفة، لذلك نلاحظ أن المقدار $sin(x) / x$ أقل من الواحد الصحيح وأكبر من $cos x$ لأي قيمة للمتغير $x$ قريبة من الصفر، وحيث أن $cos(0) = 1$ فإننا نستنتج أن نهاية المقدار $sin(x) / x$ هي الواحد.

مثال آخر: فاذا افترضنا أن المتغير المستقل س معرف على المجال المفتوح ]+1,+2[ و اقتربت س من منتصف المجال +1.5 دون ان تصل لها, و رافق ذلك أن الدالة تا(س)= س - 1.5 تقترب نتيجة ذلك من القيمة و لنقل ( 0 ) فهذا يعني أن نهاية التابع تا(س) هي 0 عندما تقترب س من القيمة +1.5.

اذا افترضنا أن الدالة $f$ معرفة على المجال المفتوح الذي يحتوي العدد $c$ وكان $L$ من مجموعة الأعداد الحقيقية:

وكان من أجل أي عدد $\varepsilon\ >0$ يوجد عدد $\delta\ >0$ بحيث يتحقق الشرط:

مهما كانت $x$ ضمن المجال فإن:

$0<|x-c|< \delta\$ فإن هذا يقتضي أن $| f (x)-L|< \varepsilon\$ .

لنفترض أن الدالة (f(x هي دالة حقيقية و أن c عدد حقيقي أيضا:

عندئذ نقول:

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

مما يعني أن الدالة $f (x)$ تكون قريبة جدا حسبما نريد من $L$ عندما تقترب $x$ من العدد $c$ ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية $f (x)$ , عندما تقترب $x$ من $c$ , هي $L$ ).