مبرهنة القيمة الوسطى

مبرهنة القيمة الوسطى هي نتيجة لمبرهنة رول.إن التغير الجزئي لكل دالة ذات متغير حقيقي متواصلة و قابلة للاشتقاق يقابل ميل إحدى مماساتها. و بأكثر دقة : النص : لكل دالة ذات متغير حقيقي f : [a, b] -> R حيث a < b، متواصلة على النطاق المغلق [a, b] و قابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[، تؤكد مبرهنة القيمة الوسطى على وجود عدد حقيقي c موجود في النطاق ]a, b[ بحيث :

$f^{\prime}(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ .

في الحقيقة، و تبعا لهذه الشروط، تكون قيمة الدالة $x \mapsto f(x) - {f(b)-f(a) \over b-a} \times (x-a)$ في a و b واحدة. و بتطبيق مبرهنة رول، فإنها تملك نقطة معينة c في ]a ; b[ و نظرا لأن المشتقة في c تساوي الصفر فإننا نجد المعادلة السابقة.

هندسيا، تقترح علينا مبرهنة القيمة الوسطى أنه لكل مستقيم يقطع منحنى قابل للاشتقاق، يوجد مستقيم مماس لهذا المنحنى مواز للمستقيم القاطع.

لامساواة القيمة الوسطى

لتكن f : [a, b] -> R دالة ذات قيم حقيقية حيث a < b. إذا كان :

f متواصلة على النطاق المغلق [a, b]
f قابلة للاشتقاق على النطاق المفتوح ]a, b[
يوجد عدد حقيقي موجب k، حيث لكل عنصر x من ]a, b[، |f'(x)| < k،

فإن $\left|{{f(b)-f(a)} \over {b-a}}\right| \le k$ .

الإستدلال :

نطبق مبرهنة القيمة الوسطى و نضع |f'(x)| < k.

و لتقريب الصورة نستطيع أن نصور المبرهنة كما يلي : "إذا كانت السرعة الآنية لسيارة ما غير قادرة على تجاوز سرعة 120 كم/س، فإن معدل سرعتها لا يمكنه ذلك."

مبرهنة القيمة الوسطى المعممّة

تطبّق هذه المبرهنة في حالة دالتين متواصلتين على [a ; b]، قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[. و هو يؤكد وجود عدد حقيقي c من النطاق ]a ; b[ بحيث

$(f(b) - f(a))g'(c) - (g(b) - g(a))f'(c) = 0\,$

هندسيا، تعني هذه المعادلة أن كل منحنى لدالة من $\R$ في $\R^2$ قابلة للاشتقاق، يملك مماسا موازيا لإحدى حباله. في حالة مخالفة g' للصفر على ]a ; b[، يمكن أن تكتب المعادلة