مجموعة (رياضيات)

المجموعة أو الفئة هي المفهوم الأساسي في جميع فروع الرياضيات، ويعتبر مفهوم المجموعة من المفاهيم الأولية التي لا تُعرَّف. لكننا نتصور المجموعة على أنها طائفة من الأشياء الموضوعة سوياً، وتسمى هذه الأشياء عناصر المجموعة، وعادة ما تكتب المجموعة باستخدام قوسين { } توضع بينهما عناصر المجموعة، فمثلا :

{a,b,c} هي مجموعة عناصرها :

a ، b ، c .

كما تستخدم في وصف المجموعات أيضاَ الصورة {x | Px} حيث Px هي خاصية أو عبارة رياضية تميز عناصر المجموعة.

وقد انشغل علماء الرياضيات في أواخر القرن التاسع عشر وبدايات القرن العشرين ببناء منظومة منطقية متكاملة لوصف المجموعات ، وهو ما أصبح علما من علوم الرياضيات يسمى نظرية المجموعات Set Theory. ومن أشهر العلماء الذين اشتغلوا بهذه النظرية: جورج كانتور (1845-1918)، برتراند راسل (1872-1970) ، ألفريد هوايتهد (1861-1947)، إرنست زيرميلو (1871-1953) ، أبراهام فرانكل (1891-1965) ، جون فون نيومان (1903-1957)، كورت جودِل (1906-1978) و بول كوهين (1934 - ).

المجموعة Set في الرياضيات هي من أهم اسس و مواضيع الرياضيات التجريدية . اذا أردنا تعريف مبدئي يمكن القول أن كل وحدة تضم أشياء أو عناصر من العالم المادي أو غير المادي، الواقعي أو الخيالي تسمى مجموعة.

يمكن للزمرة ان تكون خالية و لكن لا يمكن لها ان تحتوي على نفس العنصر أكثر من مرة.

وصف المجموعة

يمكن لنا أن نصف المجموعة عن طريق كتابة عناصرها إذا كان عددهم قليلا نسبيا. مثلا:

• مجموعة رؤساء الجزائر بين 1962 و1991:
  

{بن بلا، بومدين، بن جديد}

وكذلك تساوي

{بن جديد، بن بلا، بومدين}

لأن الترتيب ليس مهما.

• مجموعة دول العالم العربي:
  

{الجزائر، المغرب، تونس، موريتانيا، ليبيا، مصر، السودان، اليمن، عمان، الصومال، جزر القمر، السعودية، الكويت، قطر، البحرين، الإمارات العربية المتحدة، الأردن، فلسطين، لبنان، سوريا، العراق، دجيبوتي}.

و لكن هذه الطريقة للوصف تعتبر غير مناسبة غالبا خاصة عندما يصبح عدد العناصر كبير جدا، بالإضافة أنها غير ممكنة على الإطلاق إذا كان عدد العناصر لا نهائيا. لذا يتم اللجوء في هكذا حالات إلى طريق أكثر أناقة و ذلك أنه يتم وصف المجموعة عن طريق إعطاء العلاقة التي تربط أعضائها. مثلا مجموعة الأعداد الفردية:

{أ| يوجد ب، أ = 2*ب+ 1}

نتائج مباشرة

تعريف المجموعة يقود إلى عدد من النتائج المباشرة:

1. لا يوجد مجموعتين مختلفتين تضمان نفس العناصر.
2. يوجد مجموعات تضم مجموعات كعناصر.
3. المجموعة الخالية هي مجموعة جزئية من كل مجموعة.

المجموعة الجزئية

إذا كان كل عنصر في المجموعة أ عنصرا في المجموعة ب تسمى عندها المجموعة أ مجموعة جزئية من ب. إذا كانت أ مجموعة جزئية من ب و ب مجموعة جزئية من أ ، عندها يكون أ=ب.

[[ur