متسلسلة تايلور

مواضيع في التحليل الرياضي

التفاضل

تكامل

مجموع تايلور أو متسلسلة تيلور هو عبارة عن متسلسلة تمكن المرء من كتابة دالة رياضية في شكل متسلسلة.

فهرس

// متسلسلة تايلور المنتهية
// متسلسلة تايلور اللامنتهية
// تطبيقات متسلسلة تايلور
// مبرهنة تايلور

متسلسلة تايلور المنتهية

إذا إعتبرنا الدالة الرياضية (f(x قابلة للإشتقاق n مرة في النقطة ${x}_{0}\!$ فإنه يمكن كتابتها كما يلي:
$f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)\!$
حيث $T_{n}(x)\!$ تساوي:
$T_{n}(x)=\sum^{n}_{k=0} \frac{f^{k}(x_{0})}{k!}(x-x_{0})^{k}$
و يمكن إعتبار متعدد الحدود (polynom) $T n (x)$ تقريبا للدالة f في النقطة $x 0$

متسلسلة تايلور اللامنتهية

إذا أخذنا المتسلسلة المنتهية لتايلور و عوضنا n بلانهاية فإننا نتحصل على متسلسلة لا منتهية هي بذاتها الدالة f أي أن الجزء $R_{n}(x)\!$ يصير صفرا و المتسلسلة تساوي الدالة في كل النقاط x

تطبيقات متسلسلة تايلور

لمتسلسلة تايلور عدة منافع لعل أهمها أنها تسمح بالتعبير عن أي دالة رياضية عن طريق متعدد حدود فيمكننا ذلك من إيجاد حلول تقريبية لمسألة ما إذا كان الحل الدقيق مستعصيا. كما تكتسي متسلسلة تايلور أهمية كبرى في الرياضيات الرقمية حيث تقوم العديد من الخوارزميات المعتمدة لحل المعادلات هناك على متسلسلة تايلور. يجدر بالإشارة أن كل التطبيقات العملية هي تطبيقات للمتسلسلة المنتهية مما يحتم أن نأخذ بعين الإعتبار الدقة التي نريد أن نصل إليها في حلنا لمعادلة ما. ففي حين أن نظام هبوط الطائرات الآلي يتحمل خطئا بين متر أو مترين في موقع الهبوط فإن موضع الرأس الذي يقرؤ المعطيات من إسطوانة لا يقبل إلا خطأ في حدود جزء من المليون من المتر.

مبرهنة تايلور

في التحليل الرياضي ، تعطي مبرهنة تايلور تقريبا لتابع قابل للمفاضلة قرب نقطة ما عن طريق كثير حدود معاملاته تعتمد على مشتقات التابع في تلك النقطة .

المثال الأكثر بساطة هو الدالة الأسية قرب النقطة صفر :

$\textrm{e}^x \approx 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots + \frac{x^N}{N!}.$