مبرهنة بايز

مبرهنة بايز هي إحدى نتائج نظرية الإحتمالات الهامة التي تعطي التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي A مع العلم بالمتغير العشوائي B, وذلك بدلالة التوزيع الاحتمالي الشرطي للمتغير العشوائي B مع العلم ب A والتوزع الاحتمالي للمتغيرين A وB.

برهان مبدئي لمبرهنة بايز

لنفرض أن الأحداث A1 و A2 و A3 و A4 و A5 ... تشكل تجزيئا لفضاء العينة S . أي أن A1 و A2 و A3 و A4 و A5 مجموعات جزئية من فضاء العينة S متنافية مثنى مثنى (لا يوجد تقاطع بين أي اثنين منها, واجتماعها جميعها يشكل فضاء العينة بكامله). لنفرض أن حدثا ضمن فضاء العينة B (المنطقة المظللة) فإن :

$B = (S \cap B) = () \cap B = (A1 \cap B) \cup (A2 \cap B) \cup (A3 \cap B) \cup (A4 \cap B) \cup (A5 \cap B)$

و بما أن A1 و A2 و A3 و A4 و A5 متنافية مثنى مثنى فإن الأحداث $B \cap Ai$ متنافية أيضا مثنى :

$P(B) = P(A1 \cap B)+ P(A2 \cap B) + P(A3 \cap B) + P(A4 \cap B) + P(A5 \cap B)$

باستخدام علاقة الاحتمال الشرطي :

P (B) = P (B | A 1) P (A 1) + P (B | A 2) P (A 2) + P (B | A 3) P (A 3) + P (B | A 4) P (A 4) + P (B | A 5) P (A 5)

مقولات مبرهنة بايز

تقوم مبرهنة بايز بربط الاحتمالات الشرطية conditional و الاحتمالات الحافية marginal probabilities, لكي نقوم باستنتاج هذه المبرهنة, لا بد لنا أن نبدأ من تعريف الاحتمال الشرطي:

$P(A|B) P(B) = P(A \cap B) = P(B|A) P(A)\,$

و هو ما يقرأ(جداء الاحتمال الشرطي ل A بمعرفة B في احتمال B) يعطي احتمال حدوث A وB معا وهو يساوي أيضا (جداء الاحتمال الشرطي ل B بمعرفة A في احتمال A).

باعتبار P(B) ليس معدوما نقوم بقسمة طرفي المعادلة السابقة عليه:

$P(A|B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)}$

و هو نص ما يعرف عادة بمبرهنة بايز .

تقرأ : " الاحتمال الشرطي للحدث A بمعرفة الحدث B يساوي إلى احتمال B بمعرفة A مضروبا باحتمال A مقسوما على احتمال B . "