قاعدة اوبيتال

قاعدة أوبيتال في التحليل الرياضي تستعمل الاشتقاق بهدف إيجاد النهايات لصيغ غير محددة في معظم الكسور. تحمل هذه القاعدة اسم الرياضي الفرنسي قييوم دي أوبيتال.

فهرس

// مبدأ نظرية اوبيتال
// نص قواعد أوبيتال
// الإستعمالات
// الإستدلالات

مبدأ نظرية اوبيتال

فليكن $a$ عددا حقيقيا أو حتى $\pm\infty$ ، بحيث تكون الدوال الحقيقية $f$ و $g$ معرّفة بقرب $a$ و $g$ مخالفة للصفر. لو حاولنا أن نحدد نهاية الكسر $f / g$ في a، بحيث يقترب كل من البسط و المقام، كلاهما نحو الصفر أو كلاهما نحو اللانهاية، فإننا نستطيع أن نشتقهما و نحدد نهاية كسر المشتقات. و لو كانت موجودة، فإن القاعدة تؤكد أن هذه النهاية

ستكون مساوية للنهاية التي نبحث عنها.

نص قواعد أوبيتال

النص المبسط : في كتاب أوبيتال، القاعدة الموجودة هي تلك المستعملة عادة في حالة دالتين قابلتان للاشتقاق في a و حيث يكون الكسر $\frac {f'(a)}{g'(a)}$ معرّفا :

لو كان "f" و "g" دالتين قابلتان للاشتقاق في "a"، و مساويتين للصفر في a و حيث يكون الكسر $\frac{f'(a)}{g'(a)}$ معرّفا، فإن

$\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac {f'(a)}{g'(a)}$ .

و لكن، يمكن استعمال قاعدة أوبيتال في حالات أعمّ.

التعميم الأول على دوال، بحيث $\frac {f'(a)}{g'(a)}$ غير موجود بالضرورة.

لو كان f و g دالتين قابلتان للاشتقاق على النطاق ]a ; b[ و حيث نهايتهما في a، و إذا كانت g'(x) لا تساوي صفرا على ]a ; b[ و إذا كان $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ فإن $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= L$ .

هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.

التعميم الثاني على دوال تكون نهاياتها في a لانهائية.

لو كان f و g دالتين قابلتان للاشتقاق على ]a ; b[ و نهايتهما في a لا نهائية، و لو كانت المشتقة g'(x) مخالفة للصفر على ]a ; b[ و لو كانت $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ فإن $\lim_{x \rightarrow a} \frac{f(x)}{g(x)}= L$ .

هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.

نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على ]b ; a[.

تبقى المبرهنات صالحة عند تعويض a بـ $\pm \infty$ .

الإستعمالات

في حالة « $0 / 0$ »، عادة ما نستعمل الصيغة الأولى :

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x^2+3x} = \frac{\cos(0)}{2 \times 0 + 3} = \frac{1}{3}$

في حالة « ∞/∞ »، نستعمل الصيغة الثانية :

$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{\ln(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}}}{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x}}{2} = +\infty$

أحيانا، يجب استعمال قاعدة أوبيتال مرات عديدة للوصول إلى النتيجة :

$\lim_{x \to 0}\frac{\cos(2x) - 1}{x^3 + 5x^2} = \lim_{x \to 0}\frac{-2\sin(2x)}{3x^2 + 10x} = \lim_{x \to 0}\frac{-4\cos(2x)}{6x + 10} = \frac{-2}{5}$

و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :

$\lim_{x \to +\infty} x - \sqrt{x^2 - x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1-\sqrt{1 - 1/x}}{1/x} = \lim_{h \to 0}\frac{1-\sqrt{1 - h}}{h}$

$\lim_{x \to +\infty} x - \sqrt{x^2 - x} = \lim_{h \to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-h}}}{1} = \frac{1}{2}$

نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. و بالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال

موجودة :

$\lim_{x \to 0}\frac{x^2\sin(1/x)}{x} = \lim_{x \to 0}x\sin(1/x) = 0$

في حين أن :

$\frac{2x\sin(1/x) - \cos(1/x)}{1}$ ليس لها نهاية في الصفر.

في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن g'(x) مخالفة للصفر بقرب a، بمعنى آخر أن g لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، و إلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :

$f(x)=x+\cos(x)\sin(x)\,$ و $g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))\,$

، فإن

$f'(x) = 2\cos^2(x)\,$ و $g'(x) = e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))\,$

و بالتالي

$\lim_{x\to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} =\lim_{x\to +\infty}\frac{2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}=0$

و لكن

$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{1}{e^{\sin(x)}}$ لا تملك نهاية في $+ \infty$ لأن $\frac{1}{e^{\sin(x)}}$ تتذبذب بين 1/e و e.

الإستدلالات

الإستدلال على الصيغة البسيطة

إنها عملية بسيطة على النهايات. بما أن f(a)=g(a)=0، فإن :

$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\frac{x - a}{g(x) - g(a)}$

بما أن f et g قابلتان للاشتقاق في a و أن الكسر $\frac{f'(a)}{g'(a)}$ معرّف، نستطيع أن نؤكد أن

1. g'(a) مخالف للصفر، و بالتالي g(x) مخالف للصفر على نطاق ]a ; c]

2. $\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}\frac{x - a}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(a)}{g'(a)}$

الإستدلال على التعميم الأول

يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لـمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ و متواصلة على [x ; y]، و لو كانت g'(x) مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ بحيث :

$\frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$

و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0

بما أن g'(x) مخالفة للصفر على ]a ; b[، نستطيع أن نطبق مبرهنة القيمة الوسطى المعممة على النطاق [a ; x]

لكل عدد حقيقي x من ]a ; b[، يوجد عدد حقيقي c من ]a ; b[ بحيث $\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(c)}{g'(c)}$ .

بما أن $\lim_{x \to a} c = a$ و أن $\lim_{x \to a} \frac{f'(a)}{g'(a)} = L$ ، فإنه بالمثل لـ $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ .

الإستدلال على التعميم الثاني

يحتاج الاستدلال على التعميم الثاني إلى نفس المبرهنة التي يجب استعمالها بحذر.

بما أن g'(x) مخالفة للصفر على النطاق ]a ; b[، لكل x و y مختلفتين من هذا النطاق، يمكننا إذن تطبيق مبرهنة القيمة الوسطى على النطاق [x ; y]

في كل نطاق [x ; y]، يوجد عدد حقيقي c من [x ; y] بحيث $\frac{f(x) - f(y)}{g(x) - g(y)}= \frac{f'(c)}{g'(c)}$

بما أن نهايات f و g لا متناهية في a، فإنه يوجد نطاق ]a ; a'[ تكون فيه g(x) مخالفة للصفر، و يمكن كتابة العبارة السابقة إذن بالطريقة الآتية :

$f(x) = (g(x) - g(y))\frac{f'(c)}{g'(c)} + f(y)$

$\frac{f(x)}{g(x)} = \left(1 - \frac{g(y)}{g(x)}\right )\frac{f'(c)}{g'(c)}+\frac{f(y)}{g(x)}$

بما أن $\lim_{t \to a} \frac{f'(t)}{g'(t)} = L$ ، و c تنتمي إلى ]a ; y[، فإننا نستطيع أن نختار y بحيث يكون $\frac{f'(c)}{g'(c)}$ قريبا من الصفر بقدر ما نريد لكل x من ]a ; a + r[.

للنهايات في $\pm \infty$ ، يكفي أن نضع x = 1/t و نحاول أن نجد نهاية في 0.

لتكن f و g دالتين معرّفتين على [M > 0 ; $+ \infty$ [، قابلتين للاشتقاق على ]M ; $+ \infty$ [، إذا كانت g'(x) مخالفة للصفر و كانت $\lim_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L$ فإن

$\lim_{x \to + \infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{t \to 0^+}\frac{f(1/t)}{g(1/t)} = \lim_{t \to 0^+}\frac{(-1/t^2)f'(1/t)}{(-1/t^2)g'(1/t)} = \lim_{x \to +\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} = L$

تصنيف الصفحة: تحليل رياضي