عدد أولي

هذه المقالة يتم العمل عليها لتكون مقالة مختارة متعاون عليها.

العدد الأولي هو عدد صحيح طبيعي أكبر من 1, يقبل القسمة فقط على نفسه وعلى الواحد .

كأي مجموعة من مجموعات الأعداد المختلفة ، تعتبر الأعداد الأولية مجموعة لا نهائية من الأرقام .

دراسة الأعداد الأولية جزء من دراسة نظرية الأعداد ، حيث خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة ، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان و حدسية غولدباخ مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها.

السبب الأساسي يعود إلى عدم فهمنا لطريقة توزيع الأعداد الأولية ، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية .

هذه لائحة بأعداد أولية أصغر من 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

تاريخ الأعداد الأولية

تشير بعض السجلات التاريخية القديمة إلى معرفة قدماء المصريين لمفهوم الأعداد الأولية ، مع ذلك يظل اليونانيون القدامى أول من أجرى دراسات جدية بشأن هذه الموضوع ، فإقليدس على سبيل المثال أثبت في كتبه لا نهائية الأعداد الأولية ، و إراتوسثينيس وضع طريقة سهلة لحساب الأعداد الأولية كما سنرى بعد قليل .

خصائص الأعداد الأولية

جميع الأعداد الأولية - عدا 2 و 5 - تنتهي ب 1 ، 3 ، 7 أو 9 لماذا ؟

لأن جميع الأعداد التي تنتهي ب ( 0 ، 2 ، 4 ، 6 أو 8 ) هي من مضاعفات الاثنين فليست بالتأكيد أوليّة ، والأعداد التي تنتهي ب ( 0 أو 5 ) من مضاعفات الخمسة فليست أولية أيضاً .

إذا كان لدينا عددان صحيحان أ و ب ، ولدينا عدد ثالث ج ، حيث ج عدد أولي . وكان حاصل ضرب العددين ( أ × ب ) يقبل القسمة على العدد ج ، فإن "أ" أو "ب" يقبل القسمة على ج هذه الخاصية تعرف أيضا ً بمبرهنة إقليدس.

اختبارات أولية العدد

هناك أكثر من 15 اختبارا لمعرفة هل عدد معين أولي أم لا وهي :

اختبار ليكاس - ليهمر

اختبار فيرما المتربط بمبرهنة فيرما الصغرى

اختبار فيرما

مبرهنة فيرما الصغرى تبين أنه إذا كان p عدد أولي و a عدد أولي مع p, إذن : $a^{p-1}\equiv 1 \ \ (p)$

عكس المبرهنة خاطئ, مثلا 561=3×11×17 ليس عدد أولي و مع ذلك بالنسبة لعدد a أولي مع 561, لدينا $a^{560}\equiv 1 \ \ (561)$

لكن يمكن مع ذلك كتابة:

إذا كان p غير أولي فإن $a p - 1$ متوافق مع 1 بترديد p لقيمة ما a

الشيء الذي يمثل عكس احتمالي للمبرهنة.

برمجة التشفير PGP, تستعمل هذه الخاصية لمعرفة إذا كانت الأعداد العشوائية التي يختارها أعداد أولية. إذا كان: $1\equiv 2^{x-1}\equiv 3^{x-1}\equiv 5^{x-1}\equiv 7^{x-1} \ \ (x)$ , فهذا يعني أن x عدد أولي احتمالي.

إذا أعطت إحدى المعادلات قيمة مخالفة ل1, في هذه الحالة x عدد غير أولي قطعيا.

أهمية واستخدامات الأعداد الأولية

تستعمل الأعداد الأولية في ميدان المعلوميات و خاصة في علم التعمية. و من أشهر التطبيقات التي تستعمل الأعداد الأولية نجد نظام التشفير RSA. لمزيد من المعلومات راجع التشفير و مشكلة التفكيك إلى جداء عوامل أولية.