خوارزمية إقليدس

خوارزمية إقليدس في نظرية الأعداد هي خوارزمية لحساب القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين ، تظهر أهميتها الأساسية في عدم حاجتنا لتحليل الرقمين كي نتمكن من حساب القاسم المشترك الأكبر لهما ، وتتميز بكونها إحدى أقدم الخوارزميات حيث ترجع إلى سنة 300 ق.م .

وصف الخوارزمية

القاسم المشترك الأكبر لعددين طبيعيين A ، B يساوي القاسم المشترك الأكبر للعدد الثاني B و باقي قسمة A على B ، ونكرر العملية نفسها حتى يصبح باقي القسمة مساويا الصفر ، عندئذ يكون القاسم المشترك الأكبر هو العدد الآخر.

$\operatorname{GCD}(A,B) = \operatorname{GCD}(B,r) \cdots \cdots \operatorname{GCD}(N,0)$

حيث :

r باقي قسمة A على B

N هو القاسم المشترك الأكبر.

مثال :

القاسم المشترك الأكبر للعددين 252 و 198 :

252 = 198 * 1 + 54 ‘ أربع وخمسون هو باقي قسمة 252 على 198

فنجد القاسم المشترك للعددين 198 و 54

198 = 54 * 3 + 36 ‘ ست وثلاثون هو باقي القسمة.

نكرر العملية هذه المرة مع : 54 و 36

54 = 36 * 1 + 18

مرة أخرى : 36 = 18 * 2 + 0

هنا وصلنا للصفر فيكون العدد الثاني 18 هو القاسم المشترك الأكبر.