في الرياضيات ، البرهان عبارة عن إثبات ، يستند على بدهيات axiom معينة ، لعبارة رياضية أو علاقة رياضية بأنها صحيحية منطقيا حكما في ظل هذه المجموعة من البدهيات . البرهان الرياضي إذا عبارة عن حجة argument أو تعليل منطقي ، ليس تجريبيا . ضمن هذا التعريف فإن مقولة أو عبارة رياضية يجب ان تبرهن على صحتها في جميع الظروف و الحالات قبل أن يتم اعتبارها مبرهنة theorem رياضية . أما المقولة غير المبرهنة التي تلقى نوعا من الدعم التجريبي فتعرف بالحدسية conjecture . افتراضيا في جميع فروع الرياضيات ، تكون البدهيات المفترضة هي بدهيات ZFC أي Zermelo–Fraenkel set theory (و هي نظرية مجموعات زيرميلو-فرينكل مع بدهيات الاختيار) ما لم يشار إلى بدهيات مختلفة . نظرية مجموعة زيرميلو-فرينكل تقوم بمشاكلة formalize (أي تجعله شكليا formal ) الحدس الرياضي حول نظرية المجموعات ، و في نفس الوقت تقوم نظرية المجموعات بوصف الجبر و التحليل الرياضي .
للبرهان الرياضي عدة طرق : البرهان المباشر، العكسي، البرهان بالتناقض، البرهان بالاختيار، البرهان بالاستقراء... الخ
مثلا البرهان المباشر
وتعتمد هذه الطريقة على الاقتناع بأن علاقة الاقتضاء متعدية
ونعني بذلك أنه إذا كان :
مثال:
البرهان
س = 3
تقتضي 4 س = 12
تقتضي 4س + 5 = 17
تقتضي 2 ( 4س + 5 ) = 34
تقتضي 2 ( 4س + 5 ) – 1 = 33