الرئيسيةبحث

اشتقاق (رياضيات)

مواضيع في التحليل الرياضي

المبرهنة الأساسية للتكامل | دالة رياضية | نهاية دالة | دالة مستمرة | التكامل مع كثيرات الحدود | مبرهنة القيمة الوسطى | التكامل الشعاعي | تكامل الموترات
التفاضل

قاعدة الجداء | قاعدة كيوتنت | قاعدة التسلسل | التفاضل الضمني | مبرهنة تايلور | المعدل المرتبط
تكامل

قاعدة الاستبدال | التكامل بالتجزئة | التكامل بالاستبدال المثلثي | التكامل بالأقراص | التكامل بالأسطوانات | التكامل غيرالمتلائم | قائمة التكاملات

يعبر التفاضل عن المعدل الذي تتغير به قيمة y نتيجة تغير قيمة x توجد بينهما علاقة رياضية أو دالة رياضية .و تعرف المشتقة بأنها ميل المماس لمنحنى {f(x عند أي نقطة بشرط وجود هذه المشتقة أو هي السرعة اللحظية أو معدل التغيير اللحظي للدالة . نستخدم الرمز Δ للدلالة على التغير في الكمية . ويكون معدل التغير هو نهاية نسبة تغير y إلى نسبة تغير x :


\frac{\Delta y}{\Delta x}


عندما Δx تقارب 0 .

يمكن أن نكتب مشتق y بالنسبة ل x : (ترميز لايبنز)

\frac{dy}{dx}

التعبير الدقيق عن مفهوم الاشتقاق يكون باستخدام مقادير لا متناهية في الصغر:

\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h}.

المنحنى معبر بالأحمر، ومستقيم الظل معبر بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، يسمى بالعدد المشتق
المنحنى معبر بالأحمر، ومستقيم الظل معبر بالأسود، ونقطة تماس المنحنى مع المستقيم، يسمى بالعدد المشتق

رمز الإشتقاق

يمكن التعبير عن المشتق بعدة صيغ، أبرزها :

f'\left(x\right)
\frac{{\mathrm d} f}{{\mathrm d} x} ،والتي تكافئ الصيغة \frac{{\mathrm d} \left(f(x)\right)}{{\mathrm d} x}
\dot{x} = \frac{{\mathrm d} x}{{\mathrm d} t} = x'(t) ،تستعمل خاصة في الفيزياء .
D_x f(x) \;

الاشتقاق الثابت

في التحليل الرياضي ، مشتق ثابت أو تابع ثابت هو الصفر . التابع الثابت هو تابع لا يعتمد على أي متغير مستقل مثل :

f(x) = 7

مشتقات بعض الدوال المعروفة

الدالة
f(x) =\,		 المشتقة
f'(x) =\,		 شرط الاشتقاق
a\,\! 0\,\! x\,\in\mathbb{R}
a x\,\! a\,\! x\,\in\mathbb{R}
1 \over x\,\! - {1 \over x^2}\,\! x\,\in\mathbb{R}^*
\sqrt{x}\,\! {1 \over 2\sqrt{x}}\,\!

x\,\in\mathbb{R}_+^*
a x^n\,\! anx^{n-1}\,\! n\,\in \mathbb N^*\quad x\,\in\mathbb{R}
a x^n\,\! anx^{n-1}\,\! n\,\in \mathbb Z \setminus\mathbb N\quad x\,\in\mathbb{R}^*
a x^c\,\! acx^{c-1}\,\! c\,\in \mathbb R \setminus\mathbb Z\quad x\,\in\mathbb{R}^{*+}
\cos(x)\,\! -\sin(x)\,\! x\,\in\mathbb{R}
\sin(x)\,\! \cos(x)\,\! x\,\in\mathbb{R}
\tan(x)\,\! 1 \over \cos^2(x) ou 1+\tan^2(x)\,\! x\neq {\pi \over 2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}
\arccos(x)\,\! - {1 \over \sqrt{1-x^2}}\,\! x\,\in \ ]-1;1[
\arcsin(x)\,\! {1 \over \sqrt{1-x^2}}\,\! x\,\in \ ]-1;1[
\arctan(x)\,\! {1 \over 1+x^2}\,\! x\,\in\mathbb{R}
a^x\,\! a^x \ln a\,\! a\,\in\mathbb{R}_+^* \quad x\,\in\mathbb{R}
\ln |x|\,\! 1 \over x\,\! x\,\in\mathbb{R}^*
\exp{x}\,\! \exp{x}\,\! x\,\in\mathbb{R}