استيفاء

في الرياضيات ، الاستيفاء أو الاستقراء الداخلي interpolation (يستخدم أحيانا مصطلح استكمال أو استكمال داخلي ) هي أحد الطرق الرياضية لإنشاء نقاط بيانية جديدة اعتمادا على مجموعة متقطعة discrete من النقاط البيانية المحددة سلفا (مستوفين كافة النقاط) .

في الهندسة التطبيقية و العلوم ، غالبا ما تكون نتائج التجارب مجموعة من النقاط البيانية data points ، تؤخذ بالاستعيان الإحصائي sampling أو من خلال إجراء تجربة في شروط محددة ، يلي تحديد هذه النقاط تشكيل الدالة الرياضية التي تناسب بأقرب شكل نقاط البيانات الموجودة لدينا . هذه العملية تدعى ملائمة المنحنى curve fitting . و يعتبر الاستيفاء (الاستقراء الداخلي) حالة خاصة من ملائمة المنحنى ، يجب ان يمر فيه المنحنى تماما من النقاط البيانية ( استيفاء كامل النقاط في عملية الملائمة ).

مشكلة اخرى مختلفة شديدة الارتباط بالاستيفاء هي عملية تقريب دالة معقدة عن طريق دالة بسيطة . فإذا كنا نعرف دالة ما لكنها كانت غاية في التعقيد لنقوم بتقدير صيغتها بشكل دقيق ، عندئذ نعمد لتقريبها مع أبسط دالة بسيطة قريبة منها .

في هذه الحالة يمكننا أن نختار عدة نقاط بيانية من الدالة المعقدة ، منشئين جدول مظهر lookup table ، و نحاول أن نستوفي تلك النقاط لتشكيل دالة أبسط . بالطبع نتائج الدالة المبسطة لن تكون دقيقة كاستخدام الدالة المعقدة الأصلية لكن النتيجة تعتبر تقريبا جيدا و ذلك يعتمد على نطاق الاستخدام و المشكلة و طريقة الاستيفاء interpolation method المستخدمة لتحقيق التبسيط المنشود .

من الجدير بالذكر أن هناك نوعا آخر مختلف تماما من الاستيفاء في الرياضيات ، و هو ما يدعى "استيفاء المؤثرات" interpolation of operators . النتائج الأساسية لاستيفاء المؤثرات يمكن حصرها في مبرهنة ريزس-ثورن Riesz-Thorin theorem و مبرهنة ماركينكيويكس Marcinkiewicz theorem . هناك أيضا العديد من النتائج الأخرى .

تعريف

بإعطاء متتالية من n عدد مختلف x_k ندعوها بالعقد nodes و من أجل كل عدد x_k يوجد عدد آخر y_k, فتكون المهمة هي إيجاد الدالة الرياضية f بحيث يتحقق :

خطأ رياضيات (فشل التحويل لPNG، تحقق من تثبيت كل من Latex و dvips و gs و convert.): f(x_k) = y_k \mbox{ ، } k=1,\ldots,n

ندعو زوج القيم x_k,y_k نقطة بيانية data point (حيث يعتبران إحداثيي نقطة يتم تمثيلها في جملة إحداثية) و ندعو الدالة f المستوفي interpolant لكل النقاط البيانية .

عندما تعطى القيم y_k بواسطة دالة معروفة ، نكتب أحيانا f_k .

مثال

مثلا ، لنفترض أنه لدينا جدول مثل التالي ، يعطي بعض القيم لدالة غير معروفة f .

مخطط للنقاط البيانية كما بعطيها الجدول.

ما هي القيمة التي تعطيها الدالة عندما يكون ، لنقل, x = 2.5 .. ؟ الاستيفاء يجيب عن مثل هذه الأسئلة ..

هناك عدة انواع من طرق الاستيفاء. ما يهم عند اعتماد طريقة ما هو : مدى دقة الطريقة ؟ كلفة الطريقة (زمنيا و حسابيا) ؟ مدى ملاسة Smoothness الدالة المستوفية ؟ ما هو عدد النقاط البيانية التي نحتاجها في هذه الطريقة ؟ .

ابحث عن استيفاء في
ويكاموس، القاموس المجاني.