خلاصة الحساب/الباب الثاني

كل عددين غير الواحد إن تساويا فمتماثلان وإلّا فإن أفنى أقلّهما الأكثر فمتداخلان وإلّا فإن عدّهما ثالث فمتوافقان والكسر الذي هو مخرجهُ وفقهما وإلّا فمتبائنان والتماثل بيّن وتعرف البواقي بقسمة الأكثر على الأقل فإن لم يبق شيء فمتداخلان وإن بقي قسمنا المقسوم عليه على الباقي وهكذا إلى أن لا يبقى شيء فالعددان متوافقان والمقسوم عليه الأخير هو العادّ لهما أو يبقى واحد فمتبائنان

ثم الكسر إمّا منطق وهو الكسور التسعة المشهورة أو أصمّ ولا يمكن التعبير عنه إلّا بالجزء وكل منها أمّا مفرد كالثلث وجزء أحد عشر أو مكرر كالثلثَيْن وجزئين من أحد عشر أو مضاف كنصف السدس وجزء من أحد عشر من جزء من ثلاثة عشر أو معطوف كالنصف والثلث وجزء من أحد عشر وجزء من ثلاثة عشر

وإذا رسمت الكسر فإن كان معه صحيح فارسمه فوقه والكسر تحته فوق المخرج وإلّا فضع صفراً مكانه وفي المعطوف يرسمون الواو وفي المضاف من فالواحد والثلثان هكذا

ونصف خمسة أسداس هكذا

والخمسان وثلاثة أرباع هكذا

وجزء من أحد عشر من جزء من ثلاثة عشر هكذا

مخرج الكسر أقلّ عدد يصحّ منه فمخرج المفرد ظاهر وهو بعينه مخرج المكرّر ومخرج المضاف مضروب خارج مفرداته بعضها في بعض أمّا المعطوف فاعتبر مخرجي كسرين منه فإن تباينا فاضرب أحدهما في الآخر أو توافقا فوفق أحدهما في الآخر أو تداخلا فاكتف بالأكثر ثم اعتبر الحاصل مع مخرج الكسر الثالث واعمل ما عرفت وهكذا فالحاصل هو المطلوب ففي تحصيل مخرج الكسور التسعة تضرب الاثنين في الثلاثة للتباين والحاصل في نصف الأربعة للتوافق والحاصل في الخمسة للتباين والستّة داخلة في الحاصل فاكتف به واضربه في السبعة للمباينة وحاصل في ربع الثمانية والحاصل في ثلث التسعة للتوافق والعشرة داخلة في الحاصل وهو ألفان وخمسمائة وعشرون فاكتف به وهو المطلوب

تتمة ولك أن تعتبر مخارج مفرداته فما كان منها داخلاً في غيره فأسقطه واكتف بالأكثر وما كان منها موافقاً فاستبدل به وفقه واعمل بالوفق كذلك ليؤل المخارج إلى التباين فاضرب بعضها في بعض فالحاصل هو المطلوب ففي المثال تسقط الاثنين والثلاثة والأربعة والخمسة لدخولها في البواقي والستّة توافق الثمانية بالنصف فاستبدل بها نصفها وهو داخل في التسعة فأسقطه والثمانية توافق العشرة بالنصف فاضرب خمسة في الثمانية والحاصل في السبعة والحاصل في التسعة وهو المطلوب

لطيفة يحصل مخرج الكسور التسعة من ضرب أيّام الشهر في عدّة الشهور والحاصل في أيّام الأسبوع ومن ضرب مخارج الكسور التي فيها حرف العين بعضها في بعض وسئل أمير المؤمنين علّى عليه السلام عن ذلك فقال أضرب أيّام أسبوعك في أيّام سنتك

أمّا التجنيس فجعل الصحيح كسوراً من جنس كسر معّين والعمل فيه إذا كان مع الصحيح كسر أن تضرب الصحيح في مخرج الكسر وتزيد عليه صورة الكسر فمجنّس الاثنين والربع تسعة أرباع ومجنّس الستّة وثلاثة أخماس ثلاثة وثلاثون خمساً ومجنّس الأربعة وثلث سبع خمسة وثمانون

وأمّا الرفع فجعل الكسور صحاحاً فإذا كان معنا كسر عدده أكثر مخرجه قسمناه على مخرجه فالخارج صحيح والباقي كسر من ذلك المخرج فمرفوع خمسة عشر ربعاً ثلاثة وثلاثة أرباع

يؤخذ من المخرج المشترك مجموعه أو مضعّفه ويقسم عددها إن زاد عليه فالخارج صحاح والباقي كسور منه وإن نقص عنه نسب إليه وإن ساواه فالحاصل واحد فالنصف والثّلث والربّع واحد ونصف سدس والسّدس والثّلث نصف والنّصف والثّلث والسّدس واحد وضعف ثلاثة أخماس واحد وخمس

أمّا التنصيف فإن كان الكسر زوجاً نصّفته أو فرداً ضعّفت المخرج ونسبت الكسر إليه وهو ظاهر

وأما التفريق فتنقص أحدهما من الآخر بعد أخذهما من المخرج المشترك وتنسب الباقي إليه فإن نقصت الربع من الثّلث بقي سّدس

إن كان الكسر في أحد الطرفين فقط مع صحيح أو بدونه فاضرب المجنّس أو صورة الكسر في الصحيح ثم اقسم الحاصل على المخرج أو أنسبه إليه ففي ضرب اثنين وثلاثة أخماس في أربعة المجنّس في الصحيح اثنان وخمسون قسمناه على خمسة خرج عشرة وخمسان وفي ضرب ثلاثة أرباع في سبعة قسمنا أحداً وعشرين على أربعة خرج خمسة وربع وهو المطلوب

وإن كان الكسر في كلا الطرفين والصحيح معهما أو مع أحدهما أو لا فاضرب المجنّس في المجنّس أو في صورة الكسر أو الصورة في الصورة وهو الحاصل الأوّل ثم المخرج في المخرج وهو الحاصل الثاني واقسم الأوّل عليه أو أنسبه إليه فالخارج هو المطلوب فالحاصل من ضرب اثنين ونصف في ثلاثة وثلث ثمانية وثلث والحاصل من اثنين وربع في خمسة أسداس واحد وسبعة أثمان ومن ثلاثة أرباع في خمسة أسباع نصف وربع سبع

وهي ثماني أصناف كما يشهد به التأمّل والعمل فيها أن تضرب المقسوم والمقسوم عليه في المخرج المشترك إن كان الكسر في كلا الطرفين أو في المخرج الموجود إن كان أحدهما فقط ذا كسر ثم تقسم حاصل المقسوم على حاصل المقسوم عليه أو تنسبه منه فالخارج من قسمة خمسة وربع على ثلاثة واحد وثلاثة أرباع وبالعكس أربعة أسباع من السدسين على السدس اثنان كما يشهد به تعريف القسمة بما مرّ وعليك باستخراج باقي الأمثلة

إن كان مع الكسر صحيح جنّس ليرجع الكلّ كسوراً ثم إن كان الكسر والمخرج منطقين قسمت جذر الكسر على جذر المخرج أو نسبته منه فجذر ستّة وربع اثنان ونصف وجذر أربعة أتساع ثلثان وإن لم يكونا منطقين ضربت الكسر في المخرج وأخذت جذر الحاصل بالتقريب وقسمته على المخرج ففي تجذير ثلاثة ونصف تضرب سبعة في اثنين وتأخذ جذر الحاصل بالتقريب وهو ثلاثة وخمسة أسباع وتقسمه على اثنين ليخرج واحد وستّة أسباع

اضرب عدد الكسر في المخرج المحول إليه واقسم الحاصل على مخرجه فالخارج هو الكسر المطلوب من المخرج المحول إليه فلو قيل خمسة أسباع كم ثمناً قسمت أربعين على سبعة خرج خمسة أثمان وخمسة أسباع ثُمْن ولو قيل كم سدساً فالجواب أربعة أسداس وسبعا سدس