خلاصة الحساب/الباب الأول

زيادةُ عددٍ على آخر جَمْعٌ ونَقْصُهُ منه تَفْريْقٌ وتكريره مرةً تضعيف ومِراراً بعدة آحاد آخر ضَرْب وتجزئته بمتساوِيَيْنِ تنصيْف وبمتساوياته بعدة آحاد آخر قِسْمة وتحصيلُ ما تألّف من تربيعه تجذير ولنورد هذه الأعمال في فصول

ترسم العدديين متحاذيين وتبدأ من اليمين بزيادة كل مرتبة على محاذيها فإن حصل أقل من عشرة ترسم تحتها أو الزيد فالزائد أو عشرةُ فصِفراً حافظاً في هذين للعشرة واحداً لتزيده على ما في المرتبة التالية أو ترسمه بجنب سابِقِه إن خلَتْ أو ترسمه فيها وكل مرتبة لا يحاذيها عدد فانقلها بعينها إلى سطر الجمع وهذه صورته

20372 + 7656 ———————— 28028

فإن تكثّرت سطور الأعداد فارسمها متحاذية المراتب وابدأ من اليمين حافظاً لكل عشرة واحداً كما عرفت وهذه صورته

72373 3318 + 514 ———————— 76205

وأعلم أنّ التضعيف في الحقيقة جَمْعُ المثلين إلاّ إنّك لا تحتاج إلى رسم المثل بل تجمع كل مرتبة إلى مثلها كأنه بحذائها وهذه صورته

252073 504146

ولك الابتداء في هذه الأعمال من اليسار إلاّ إنّك تحتاج إلى المَحْوِ والأِثباتِ ورسم الجداول وهو تطويل لغير طائل وهذه صورتها

وأعلم أنّ ميزان العدد ما يبقى منه بعد اسقاط تسعةٌ تسعةٌ وامتحانُ الجمع والتضعيف بجمع مِيْزانَيِ المجموعَيّنِ وتضعيفِ ميزان المضعّف واخذِ ميزان المجتمع فإن خالف ميزان الحاصل فالعمل خطأ

تبدأ من اليسار وتضع نصف كل تحته إن كان زوجاً والصحيح من نصفه إن كان فرداً حافظاً للكسر خمسة لتزيدها على نصف ما في المرتبة السابقة إن كان فيها عدد غير الواحد وإن كان واحداً أو صفراً وضعت الخمسة تحته فإن انتهت المراتب ومعك كسر فضع له صورة النصف هكذا

8730313 ½ 4365156

ولك أن تبدأ من اليمين راسماً للجدول على هذه الصورة

والامتحان بتضعيف ميزان النصف واخذ ميزان المجتمع فإن خالف ميزان المنصّف فالعمل خطأ

تضعهما كما مرّ وتبدأ من اليمين وتًنْقُصُ كلَّ صورةٍ منْ مُحاذيْهَا وتضعُ الباقي تحت الخطّ العَرَضِي فإن لم يَبْقَ شيء فصفراً وإنْ تعذّر النقصانُ منه أخذت إليه واحداً من عشراته ونقصت منه ورسمت الباقي فإن خلت عشراته أخذت من مئاته وهو عشرة

بالنسبة إلى عشراته فضع منه تسعة واعمل بالواحد ما عرفت وتمّم العمل هكذا

270753 - 29872 ———————— 240881

ولك أن تبدأ من اليسار هكذا

والامتحان بنقصان ميزان المنقوص عن ميزان المنقوص منه إن أَمْكَنَ وإلّا زيْدَ عليه تسعةَ وانَقِصَ فالباقي إن خالفَ ميزان الباقي فالعمل خطأ

وهو تحصيْل عددٍ نسبةُ أحد المضروبين إليه كنسبة الواحد إلى المضروب الآخر ومن ههنا علم أن الواحد لا تأثير له في الضرب وهو ثلاثة مفرد في مفرد أو في مركب أو مركب في مركب

والأول إما آحادُ في آحاد أو آحاد أو في غيرها أو غيرها في غيرها أما الأوّل فهذا الشَّكْلُ متكفِّل به

وأمّا الأخيران فردّ فيهما غير الآحاد إلى سميّها منها واضرب الآحاد في الآحاد وأحفظ الحاصل ثم أجمع مراتب المضروبين وابسط المجتمع من جنس مَتْلُوّ المرتبة الأخيرة ففي ضرب الثلاثين في الأربعين تبسط الاثني عشر مئات إذ المراتب أربع والثالثة مرتبة المئات وفي ضرب الأربعين في خمسمائة تبسط العشرين ألوفا إذ المراتب خمس

وأمّا الثاني والثالث فإذا حلّ المركّب إلى مفرداته رجع إلى الأول فاضرب المفردات بعضها في بعض وأجمع الحواصل وللضرب قواعد لطيفة تعين على استخراج مطالب شريفة

قاعدة فيما بين الخمسة والعشرة تبسط أحد المضروبين عشرات وتنقص من الحاصل مضروبه في فضل العشرة على المضروب الآخر مثالها ثمانية في تسعة نقصنا من التسعين مضروب التسعة في الاثنين بقي اثنان وسبعون

قاعدة أخرى تجمع المضروبين وتبسط ما فوق العشرة عشرات وتزيد على الحاصل مضروب فضل العشرة على أحدهما في فضلها على الآخر مثالها ثمانية في سبعة زدنا على الخمسين مضروب الاثنين في الثلاثة

قاعدة في ضرب الآحاد فيما بين العشرة والعشرين تجمع المضروبين وتبسط الزائد على العشرة عشرات ثم تنقص من الحاصل مضروب ما بين المفرد والعشرة في الآحاد التي مع المركب مثالها ثمانية في أربعة عشر نقصنا من المائة والعشرين مضروب الاثنين في الأربعة

قاعدة في ضرب ما بين العشرة والعشرين بعضه في بعض تزيد آحاد أحدهما على مجموع الآخر وتبسط المجتمع عشرات ثم تضيف إليه مضروب الآحاد في الآحاد مثالها اثنا عشر في ثلاثة عشر زدنا على المائة والخمسين ستّة

قاعدة كل عدد يضرب في خمسة أو خمسين أو خمسمائة فابسط نصفه عشرات أو مئات أو ألوفا وخذ للكسر نصف ما أخذت للصحيح مثالها ستّة عشر في خمسة فالجواب ثمانون أو سبعة عشر في خمسين فالجواب ثمانمائة وخمسون

قاعدة في ضرب ما بين العشرة والعشرين فيما بين العشرين والمائة من المركّبات تضرب آحاد أقلّهما في عدّة تكرار العشرة وتزيد الحاصل على أكثرهما وتبسط المجتمع عشرات وتزيد عليه مضروب الآحاد في الآحاد مثالها اثنا عشر في ستّة وعشرين زدت الأربعة على الستّة والعشرين وبسطت الثلاثين عشرات وتمّمت العمل حصل ثلاثمائة واثنا عشر

قاعدة كل عدد يضرب في خمسة عشر أو في مائة وخمسين أو في ألف وخمسمائة فزد عليه نصفه وابسط الحاصل عشرات أو مئات أو ألوفا وخذ للكسر نصف ما أخذت للصحيح مثالها أربعة وعشرون في خمسة عشر الجواب ثلاثمائة وستون أو خمسة وعشرون في مائة وخمسين الجواب ثلاثة آلاف وسبعمائة وخمسون

قاعدة في ضرب ما بين العشرين والمائة ممّا تساوت عشراته بعضه في بعض تزيد آحاد أحدهما على الآخر وتضرب المجتمع في عدّة تكرار العشرة وتبسط الحاصل عشرات وتزيد عليه مضروب الآحاد في الآحاد مثالها ثلاثة وعشرون في خمسة وعشرين ضربت الثمانية والعشرين في الاثنين وبسطت الستّة والخمسين عشرات وتمّمت العمل حصل خمسمائة وخمسة وسبعون

قاعدة فيما اختلفت عدّة عشراته ممّا بين العشرين والمائة تضرب عدّة عشرات الأقلّ في مجموع الأكثر وتزيد عليه مضروب آحاد الأقلّ في عدّة عشرات الأكثر وتبسط المجتمع عشرات وتضيف إليه مضروب الآحاد في الآحاد مثالها ثلاثة وعشرون في أربعة وثلاثين فزد على الثمانية والستين تسعة وأضف إلى السبعمائة والسبعين اثني عشر

قاعدة كل عددين متفاضلين نصف مجموعهما مفرد تجمعها وتضرب نصف المجتمع في نفسه وتسقط من الحاصل مضروب نصف التفاضل بينهما في نفسه مثالها أربعة وعشرون في ستّة وثلاثين فأسقط من التسعمائة مضروب نصف التفاضل في نفسه أعنى ستّة وثلاثين يبقى ثمانمائة وأربعة وستّون

قاعدة قد يسهل الضرب بأن تنسب أحد المضروبين إلى أوّل أعداد مرتبة فوقه وتأخذ بتلك النسبة من الآخر وتبسط المأخوذ من جنس المنسوب إليه والكسر بحسبه مثالها خمسة وعشرون في اثني عشر تنسب الأوّل الى المائة بالربع فتأخذ ربع الاثني عشر وتبسط مئات أو في ثلاثة عشر فربعها ثلاثة وربع فالجواب ثلاثمائة وخمسة وعشرون

قاعدة قد يسهل الضرب بأن تضعّف أحد المضروبين مرّة فصاعداً وتنصّف الآخر بعدة ذلك وتضرب ما صار إليه أحدهما فيما صار إليه الآخر مثالها خمسة وعشرون في ستّة عشر فلو ضعّفت الأول مرّتين ونصّفت الثاني كذلك لرجع إلى ضرب أربعة في مائة وهو أظهر

تبصرة فإن تكثرت المراتب وتصعّب العمل فاستعن بالقلم فإن كان ضرب مفرد في مركّب فارسمها ثم اضرب المفرد بصورته في المرتبة الأولى وارسم آحاد الحاصل تحتها واحفظ لعشراته آحادا بعدّتها لتزيدها على حامل ضرب ما بعدها إن كان عدداً وإن كان صفراً رسمت عدّة العشرات تحته وإن لم يحصل آحاد فضع صفراً حافظاً لكل عشرة واحداً لتفعل به ما عرفت ومتى ضربت في صفر فارسم صفراً وإن كان مع المفرد أصفار فارسمها عن يمين سطر الخارج مثاله خمسة في هذا العدد 62043 وصورة العمل هكذا

5 × 62043 ———————— 310215

فلو كانت خمسمائة لزدت قبل سطر الحاصل صفرين هكذا 31021500

وإن كان ضرب مركّب في مركّب فالطرق فيه كثيرة كالشبكة وضرب التوشيح والمحاذاة وغيرها والأشهر الشبكة ترسم شكلاً ذا أربعة أضلاع وتقسمه إلى مربّعات وكلا منها إلى مثلّثين فوقاني وتحتاني بخطوط مؤرّبة كما سترى وتضع أحد المضروبين فوقه كل مرتبة على مربع والآخر عن يساره الآحاد تحت العشرات وهي المئات وهذا ثم اضرب صور المفردات كلّا في كل وضع الحاصل في مربّع محاذيهما آحاده في المثلث التحتاني وعشراته في الفوقاني واترك المربّعات المحاذية للصفر خالية فإذا تم الحشو فضع ما في المثلث التحتاني الأيمن بعينه تحت الشكل فإن خلا فصفراً وهو أول مراتب الحاصل ثم أجمع ما بين كل خطين مؤرّبين وضع الحاصل عن يسار ما وضعت أوّلاً فإن خلا فصفراً كما في الجمع مثاله هذا العدد 62374 في هذا العدد 207 وهذه صورة العمل

والامتحان بضرب ميزان المضروب في ميزان المضروب في فميزان الحاصل إن خالف ميزان الخارج فالعمل خطأ

هي طلب عدد نسبته إلى الواحد كنسبة المقسوم إلى المقسوم عليه فهي عكس الضرب والعمل فيها أن تطلب عدداً إذا ضربته في المقسوم عليه ساوى الحاصل المقسوم أو نقص عنه بأقلّ في المقسوم عليه فإن ساواه فالمفروض خارج القسمة وإن نقص عنه كذلك فأنسب ذلك الأقلّ إلى المقسوم عليه فحاصل النسبة مع ذلك العدد هو الخارج

فإن تكثّرت الأعداد فارسم جدولاً سطوره بعدّة مراتب المقسوم وضعها خلالها والمقسوم عليه تحته بحيث يحاذي آخرُه آخرَه إن لم يزد المقسوم عليه من محاذيه من المقسوم إذا حاذاه وإلّا فبحيث يحاذي متلوّ آخر المقسوم ثم تطلب أكثر عدد من الآحاد يمكن ضربه في واحد واحد من مراتب المقسوم عليه ونقصان الحاصل ممّا يحاذيه من المقسوم وممّا على يساره إن كان شيء واضعاً الباقي تحت خطّ فاصل فإذا وجدت وضعته فوق الجدول محاذياً لأولى مراتب المقسوم عليه وعملت به ما عرفت ثم تنقل المقسوم عليه إلى اليمين بمرتبة أو ما بقى من المقسوم إلى اليسار بعد خطّ عرضي ثم تطلب أعظم عدد آخر كما مرّ وضعه من يمين الأول واعمل به ما عرفت فإن لم يوجد فضع صفراً وانقل كما مرّ وهكذا ليصير أوّل المقسوم محاذياً لأوّل المقسوم عليه فيكون الموضوع أعلى للجدول خارج القسمة فإن بقى من المقسوم شيء فهو كسر مخرجه المقسوم عليه مثال هذا العدد 975741 على هذا العدد 53 فخارج القسمة 18410 من الصحاح وأحد عشر جزءاً من ثلاثة وخمسين إذا فرض واحداً وهذه صورته

والامتحان بضرب ميزان خارج في ميزان المقسوم عليه وزيادة ميزان الباقي إن كان على الحاصل فميزان المجتمع إن خالف ميزان المقسوم فالعمل خطأ

المضروب في نفسه يسمّى جذراً في المحاسبات وضلعاً في المساحة وشيئاً في الجبر والمقابلة ويسمّي الحاصل مجذوراً ومربّعاً ومالاً

والعدد إن كان قليلاً فاستخراج جذره لا يحتاج إلى تأمّل إن كان منطقاً وإن كان أصّم فأسقط منه أقرب المجذورات إليه وانسب الباقي إلى مضعّف جذر المسقط مع واحد فجذر المسقط مع حاصل النسبة هو جذر الأصمّ بالتقريب

وإن كان كثيراً فضعه خلال جدول كالمقسوم وأعلم مراتبه بتخطي مرتبة مرتبة ثم أطلب أكثر عدد من الآحاد إذا ضرب في نفسه ونقص الحاصل ممّا يحاذي العلامة الأخيرة وممّا عن يساره أفناه أو بقى أقل من المنقوص منه فإذا وجدته وضعته فوقها وتحتها بمسافة وضربت الفوقاني في التحتاني ووضعت الحاصل تحت العدد المطلوب جذره بحيث يحاذي آحاده المضروب فيه ونقصته ممّا يحاذيه وممّا عن يساره ووضعت الباقي تحته بعد الفاصلة ثم تزيد الفوقاني على التحتاني وتنقل الجميع إلى اليمين بمرتبة ثم تطلب أعظم عدد كذلك إذا وضعته فوق العلامة التي قبل العلامة الأخيرة وتحتها أمكن ضربه في مرتبة مرتبة من التحتاني ونقصان الحاصل ممّا يحاذيه وممّا عن يساره فإذا وجد العدد عملت به ما عرفت وزدت الفوقاني على التحتاني ونقلت ما في السطر التحتاني إلى اليمين بمرتبة وإن لم يوجد فضع فوق العلامة وتحتها صفراً وانقل وهكذا إلى أن يتّمّ العمل فما فوق الجدول هو الجذر فإن لم يبق شيء تحت الخطوط الفواصل فالعدد منطق وإن بقى فأصمّ وتلك البقية كسر مخرجها ما يحصل من زيادة ما فوق العلامة الأولى مع واحد على التحتاني مثاله أردنا جذر هذا العدد 128172 وعملنا ما قلنا صار هكذا

وبقى تحت الخطوط الفواصل ثمانية فهي كسر مخرجها الحاصل من زيادة ما فوق العلامة الأولى وواحد على التحتاني أعني 717

والامتحان بضرب ميزان الخارج في نفسه وزيادة ميزان الباقي إن كان على الحاصل فميزان المجتمع إن خالف ميزان العدد فالعمل خطأ