المتوالية ( Progression )

---

المتوالية في الرياضيات سلسلة من الأرقام المترابطة أو الرموز تسمى الحدود. والأمثلة التالية تحدد ثلاثة أنواع شائعة من المتواليات.

المتوالية الحسابية 1، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 وهكذا.
المتوالية الهندسية 0 ، 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 وهكذا.
المتوالية التوافقية 1/2، 1/4، 1/6، 1/8 وهكذا.

وفي كل من هذه المتواليات، تتكون الحدود التالية للحد الأول بطرق مختلفة تُسمَّى الفارق المشترك، أو أساس المتوالية. ويتكون كل حد في المتوالية العددية بإضافة كمية ثابتة إلى الحد الأسبق. وفي المثال الفارق المشترك هو واحد. ويتكون كل حد في المتوالية الهندسية، بضرب الحد الأسبق في كمية تسمى النسبة المشتركة. (أساس المتوالية الهندسية) وفي المثال، النسبة المشتركة هي 2. أما في المتوالية التوافقية فكل حد هو كسر اعتيادي، والبسط فيه قيمته واحد. والمقام يتكون بنفس طريقة المتوالية العددية، وفي المثال الفارق المشترك للمقام هو 2.

والمتواليات مفيدة في حل كثير من المشاكل في العلم ومجال الأعمال. فمثلا تُسهل المتواليات حساب الفائدة المركبة. ★ تَصَفح: الفائدة. وقد طور علماء الرياضيات صيغًا لإيجاد قيمة أي حد في المتوالية ولإيجاد مجموع أي عدد من الحدود.

المتوالية الحسابية:

قد يكون للمتوالية الحسابية أكثر من حد أول، وأكثر من فارق مشترك. ويتضح ذلك في الأمثلة التالية:

رقم المثال الحد الأول الفارق المشترك المتوالية الحسابية أ 2 3 2، 5، 8، 11، 14، 17 ب 3 -2 3، 1، -1، -3، -5. جـ 1 1/2 1، 1/2 1 ، 2 ، 1/2 2 ، 3. د س ص س،س+ص، س+2ص، س+ 3ص.

ففي المثال أ قيمة الحد الرابع 11 أي تُساوي 2 + 3 + 3 + 3. ويمكن كتابتها بالشكل الآتي 2+(4- 1) 3. ويمكن إيجاد قيمة أي حد بجمع الأول مع حاصل ضرب الفرق المشترك في عدد الحدود ناقص واحد. والحد الأخير أو المجهول هو ل_ن

ل _ن = أ + (ن -1) د

ومجموع الحدود الستة الأولى للمثال هي:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 = 57. لاحظ أن مجموع الحد الأول والحد الأخير 19، وكذلك مجموع الحد الثاني والحد الخامس 5 + 14 = 19 ومجموع الحد الثالث والرابع هو 8 + 11 = 19 ومجموع الحدود الستة 57، وهو مايساوي 19× 3 أو ثلاثة أضعاف الحد الأول والأخير. وعموماً فإن مجموع أي عدد من الحدود للمتوالية الحسابية، هو نصف عدد الحدود مضروباً في مجموع الحدين الأول والأخير. فإذا استخدمنا الرمز م_ن لمجموع الحدود، تكون المعادلة المطلوبة:

م_ن = ن/2 م _ن= ( أ + ل _ن )

المتوالية الهندسية:

يمكن أن يتنوع فيها الحد الأول والنسبة المشتركة (أساس المتوالية) كما يتضح في المثال الآتى:

مثال: الحد الأول النسبة المشتركة المتوالية الهندسية أ 2 3 2، 6، 18، 54، 162 . . ب 1 1/2 1، 1/2، 1/4، 1/8، 1/16 جـ أ س أ ، أس، أس²، أس§

ويبين المثال ج أن قيمة أي حد مجهول = أ س^{ن -}¥ والأس ن-1، يعني أن س تُستخدم عاملاً ن-1 مرة. وباستخدام هذه المعادلة يمكن حساب الحد السادس في المثال كالآتي:

ل₆ =2(3)¹ = 2 × 3 × 3 × 3× 3× 3 = 486

كما أن مجموع أي عدد من الحدود يمكن حسابه بالمعادلة

م_ن = (أ- أ س^ن) / (أ - س)

فمثلاً مجموع الحدود الأربعة الأولى من المثال أ ُتُحسب كالآتي:

م₄= [2-2(3) ¨] / (1-3) = (2-162) / -2 = 80

فإذا كانت س أقل من واحد صحيح، فإن مجموع عدد لانهائي من الحدود يقترب من النهاية أ/ (1- س). ★ تَصَفح: المتسلسلة.