المتسلسلة ( Series )

المتسلسلة في الرياضيات، تُعرف بأنها مجموع حدود متتالية . وعلى سبيل المثال، تكوِّن مجموعة الأعداد 2، 4، 6، 8، 10 متتالية. وإذا جمعنا هذه الأعداد، فإننا نحصل على المتسلسلة 2 + 4 + 6 + 8 + 10. وتعرف المتتالية بأنها مجموعة من الحدود ¸أعداد أو صيغ جبرية· مكتوبة بترتيب معين. الحدود أ، أر، أر²، أر§، أر ¨ هي مثال لمتتالية مكونة من حدود جبرية. والمتسلسلة التي نحصل عليها من هذه المتتالية هي أ + أر+ أر²+ أر§+ أر ¨. وتحتوي المتسلسلة 1/2 - 1/3 + 1/4 - 1/5 + ...على حدود موجبة وحدود سالبة.

يطلق الرياضيون أسماء مختلفة على المتسلسلات، وذلك حسب العلاقة بين الحدود التي تتكون منها المتسلسلة0 فمثلاً تُسمّى المتسلسلة 2+4+6+8+10 متسلسلة حسابية، حيث إننا نستطيع معرفة أي حد بإضافة مقدار ثابت إلى الحد الذي يسبقه مباشرة ( المقدار الثابت هنا هو 2). وتُسمى المتتالية 2، 4، 6، 8، 10 المتوالية الحسابية. أما المتسلسلة أ، أر، أر²، أر§، أر ¨. فهي تُعدُّ مثالاً لما يسمى متسلسلة هندسية حيث إننا نستطيع معرفة أي حدٍّ بضرب الحد الذي يسبقه مباشرة بمقدار ثابت (المقدار الثابت هنا هو ر ويُسمَّى النسبة المشتركة). وتُسمَّى المتتالية أ، أر، أر²، أر§، أر ¨ المتوالية الهندسية. ومن المتسلسلات الشائعة أيضاً كل من متسلسلة القوى، والمتسلسلة المثلثية ومتسلسلة المضروب. وحدود متسلسلة القوى هي مقدار مرفوع إلى قوى متتابعة. وتُعدُّ المتسلسلة 1+س+س²+س§+ ... أبسط مثال على متسلسلة قوى. وتشمل حدود المتسلسلة المثلثية على صيغ مثل جيب وجيب تمام الزوايا. أما متسلسلة المضروب البسيطة فلها الصيغة التالية:1+(1× 2) +(1 × 2 × 3) + .... ويمكن كتابتها باستخدام رمز المضروب على النحو التالي 1! + 2! + 3!+ .... وقد سميِّت المتسلسلات التي أصبحت أدوات رياضية مهمة بأسماء أصحابها الذين طوَّروها، مثل متسلسلة فوريه التي تُستخدم لدراسة الموجات في الفيزياء، ومتسلسلة تايلور التي أدت دورًا مهماً في تطوير الفرع من الرياضيات المعروف باسم حساب التفاضل والتكامل. والمتسلسلات قد تكون نهائية أو لانهائية. وتحتوي المتسلسلة النهائية على عدد منته من الحدود ؛ فمثلاً 2 + 4 + 6 + 8 + 10متسلسلة نهائية عدد حدودها (5). أما المتسلسلة اللانهائية فتحتوي على عدد غير منته من الحدود. ونعبِّر عن هذه المتسلسلة على النحو التالي: 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + .... حيث النقط في نهاية المتسلسلة تدل على أنه ليس للمتسلسلة حد أخير ؛ أي أنها متسلسلة لانهائية.

استخدام المتسلسلات النهائية

أكثر الأسئلة شيوعاً عن المتسلسلة النهائية هي:

1 ـ ما قيمة حد معين من حدودها؟
2 ـ ما مجموع عدد معين من حدودها ؟

ولنفترض مثلا أننا نريد إيجاد الحد السابع من متتالية الأعداد الفردية 1، 3، 5، 7، 9، .... من الممكن أن نجد هذا الحد بكتابة الأعداد السبعة الأولى من هذه المتتالية، وهي: 1، 3، 5، 7، 9، 11، 13. ومن ثم، فإن الحد السابع هو13. وبطريقة مماثلة نستطيع أن نجد مجموع الحدود السبعة من المتسلسلة المرتبطة هذه: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 49. ويمكن أيضا ً أن نستخدم قوانين رياضية لإيجاد حدود ومجاميع العديد من المتسلسلات. وتظهر أهمية هذه القوانين بصورة خاصة إذا أردنا أن نجد مجموع عدد كبير من الحدود. وفي هذه القوانين يرمز الحرف ن عادةً لترتيب الحد. فمثلاً القانـون الذي يحـدد لنا الحد النـوني (ح_ن) من متتاليـة الأعـداد الفـرديــة هـو: ح_ن =2ن -1

وباستخدام هذا القانون يكون الحد السابع في المتتالية:

ح₇ = 2 × 7 - 1 = 14 - 1 = 13

وهذا هو ما حصلنا عليه سابقاً. أما قانون مجموع أول ن من حدود متسلسلة الأعداد الفردية فهو :م₇= ن²

وباستخدام هذا القانون، يكون مجموع الحدود السبعة الأولى هو : م₇= 7²= 49.

وهذا يتفق مع ما وجدناه سابقاً. وقد اكتشف علماء الرياضيات قوانين مشابهة لإيجاد حدود ومجاميع العديد من المتسلسلات. ولمزيد من المعلومات عن إيجاد حدود ومجاميع المتواليات. ★ تَصَفح: المتوالية.

استخدام المتسلسلات اللانهائية

لعل أبسط المتسلسلات اللانهائية هي المتسلسلة الهندسية التي تقل نسبتها المشتركة عن1. فمثلا المتسلسلة الهندسية التالية نسبتها المشتركة = 1/2

1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16

كيف نجد مجموع هذه المتسلسلة التي تحتوي على عدد غير منته من الحدود؟ نستطيع أن نبدأ بوضع جدول يبين لنا مجموع أول ثلاثة حدود، ومجموع أول أربعة حدود، وهلم جرا.

من الجدول أعلاه يتبين لنا أن المجموع يقترب من العدد 2كلما أضفنا حدوداً أكثر. وإذا أضفنا عدداً كافياً من الحدود، نستطيع أن نجعل المجموع يقترب أكثر فأكثر من العدد 2. ولكن لايمكن للمجموع أن يصل إلى العدد 2. ويسمى العدد2 في هذه الحالة نهاية مجموع ن من الحدود عندما يتزايد ن بدون حد. ويمكن أن نعبر عن ذلك باستخدام الرموز كالتالي:

الرمز يبين لنا أن الحدود تتزايد دون حد. وتسمى النهاية مجموع المتسلسلة.

من الممكن أيضاً أن نستخدم قوانين رياضية للبرهان على أن مجموع هذه المتسلسلة يساوي 2. وقانون مجموع ن من حدود أية متوالية هندسية هو:

حيث أ هو الحد الأول من المتسلسلة، ر هو النسبة المشتركة، ن عدد الحدود. من الممكن أن نكتب القانون السابق على النحو التالي:

خذ الحد الثاني من المعادلة أعلاه إذا كان ر عددًا أقل من 1 وسمحنا للعدد ن أن يتزايد بدون حد، فإن رن يقترب من الصفر، ومن ثم فإن نهاية الحد الثاني من الطرف الأيسر تساوي صفراً ¸تستطيع التحقق من ذلك بأخذ ر عددا أقل من 1 وإيجاد قيم ر لبعض قيم ن·

بما أن

فإن

عند أ =1 و ر = 1/2 كما في المثال فإن:

وهذه هي القيمة نفسها التي توصلنا إليها باستخدام الجداول.

إذا وجدت نهاية لمجموع متسلسلة عندما يتزايد عدد حدودها بدون حد، فإنها تُسمى متسلسلة متقاربة، وإذا لم تكن متقاربة فإنها تُسمى متباعدة. وعلى الرغم من أن علماء الرياضيات استطاعوا أن يبرهنوا على تقارب عدد كبير من المتسلسلات، فإنه من الصعوبة بمكان (وأحياناً من المستحيل) إيجاد مجموع متسلسلة متقاربة. وفي هذه الحالة، نجد مجموع المتسلسلة بصورة تقريبية. تمكن علماء الرياضيات ـ باستخدام طريقة التقريب هذه ـ أن يجدوا قيم الدوال المثلثية، واللوغاريتمات، وكذلك قيمة بعض الثوابت المهمة مثل ط,e (حيث e هو أساس اللوغاريتم الطبيعي).

ويعتبر عالم الرياضيات الأسكتلندي جيمس جريجوري الذي عاش في الفترة 1638ـ 1675م من أوائل من وجدوا القيمة التقريبية للعدد ط مستخدماً المتسلسلة الآتية:

ط =4(1- 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + ....)

وتشكل حدود هذه المتسلسلة ما يطلق عليه اسم المتوالية التوافـقية. والواقع أن متسلسلة جريجوري بطيئة التقارب، أي إننا نحتاج جمع عدد كبير جدًا من الحدود لكي نحسن الدقة قليلاً.وفي العصر الحاضر، يستخدم علماء الرياضيات متسلسلات سريعة التقارب للقيمة ط (باي)، والقيمة التالية تزودنا بقيمة تقريبية للعدد ط مقربًا إلى 20 منزلة عشرية:

ط =3,14159265358979323846.

وباستطاعة علماء الرياضيات اليوم، باستخدام متسلسلات سريعة التقارب وبمساعدة الحاسوب، أن يجدوا قيمة تقريبية للعدد ط مقرباً إلى أكثر من 100,000 منزلة عشرية.

استخدام الأعداد الفردية

مجمــــــوع متسلسلــــة الأعـــداد الفرديــــــة 1 + 3 + 5 + 7 + ...

هو م _ن = ن²

وهذه الصيغة تعبر عن الحقيقة المهمة التالية:

مجموع ن من الأعداد الفردية المتتالية يكون دائمًا مربعًا كاملاً. ويوضح الجدول التالي هذه الحقيقة.

وتشير الأسهم في الجدول إلى العلاقة بين المربعات الكاملة والأعداد الفردية المتتالية. ويرجع اكتشاف هذه العلاقة إلى عام 540 ق.م حيث اكتشفها تلاميذ عالم الرياضيات الإغريقي فيثاغورث خلال دراستهم للأعداد الشكلية. والأعداد الشكلية نقاط مرتبة على صورة أشكال هندسية مثل المثلث والمربع وغير ذلك. ويمثل الشكل التالي المربعات الكاملة الأربعة الأولى كما اكتشفها طلاب فيثاغورث.

اكتشف الفيثاغورثيون أنه لكي يحصلوا على مربع كامل من الذي قبله يجب أن يضيفوا عدداً فرديًا من النقط،وأن عدد هذه النقط يزداد 2 في كل مرة، ومن ثم فإن النقط تكون متتالية من الأعداد الفردية0 وأضاف الفيثاغورثيون 3 نقاط للعدد 1 ليحصلوا على المربع 4، ثم 5 نقاط أخرى ليحصلوا على المربع 9 وهلم جرا0 ويوضح الجزء الأخير من الشكل (أعلاه) كيف حصل الفيثاغورثيون على المربع الكامل 16 بإضافة 9 نقاط حيث أضافوا 3 نقاط للصف العلوي، وثلاث نقاط أخرى للعمود الأخير من الجهة اليسرى، ونقطة واحدة مضافة إلى الصف العلوي والعمود الأخير، فيكون عدد النقاط المضافة (2 × 3) +1 = 7 وهو عدد فردي.

وبصورة عامة، يمكن استخدام ن ليمثل عدد النقاط في أي صف أو عمود من المربع الكامل. ولتكوين المربع الذي يليه، نضيف مايلي:

1- ن من النقاط أعلى الصف العلوي. 2- ن من النقاط على يسار العمود الأخير. 3- نقطة واحدة إلى الصف والعمود الجديدين. وعند ذلك، يكون مجموع النقاط المضافة (2ن+1) وهذا دائمًا عدد فردي. ومع كل مربع جديد ن يزداد بمقدار 1. ونتيجة لذلك، فإن عدد النقاط المضافة (2 ن + 1) يزداد بمقدار 2. ومن ثم فإن عدد النقاط المضافة يشكل متتالية من الأعداد الفردية. كما أن كل مربع كامل هو مجموع حدود معينة في هذه المتتالية.