نهاية متتالية

نهاية المتتالية هى القيمة التى تتقارب اليها قيم أعضاء هذه المتتالية. و اذا كانت قيم أعضاء المتتالية تتقارب إلى قيمة محددة نقول أن تلك المتتالية "منتهية" .

إذا كانت المتتالية منتهية فتوجد لها نهاية ، أما اذا كانت المتتالية غير منتهية (مثل متتالية الأعداد الطبيعية) فلا توجد لها نهاية.

و كما توجد نهايات لبعض الدوال فإنه توجد أيضا نهايات لبعض المتتاليات.

دراسة نهايات المتتاليات مهمة لأنها تسمح بدراسة متتاليات الدالات في فضاء متجهات و هذا مهم في حل المعادلات التفاضلية الجزئية.

تعريف شكلى

صيغة ١

نقول أن هناك نهاية و قيمتها ل   للمتتالية س_ن

إذا تواجد لكل قيمة   هـ > ٠

عدد حقيقى ع

بحيث أن   |س_ن - ل|<هـ   لكل   س > ع ، و نكتب

نها_{س ← ∞} س_ن = ل

و هذا فقط إذا كانت المتتالية منتهية أما إذا لم تكن منتهية فلا نهاية لها.

على سبيل المثال يظهر في الشكل رسم بيانى لدالة مطابقة للمتتالية {س _ن} = (١+١/ن)^ن و هى نهاية منتهية و نهايتها

نها _{ن ← ∞} {سن_{} = نها س ← ∞ (۱+۱/ن)^ن = ٢٫٧١٨٢٨١٨}

يمثل الخطان القرمزى و البرتقالى مسافة هـ من قيمة المتتالية عند نقطة (ن، س_ن) .

صيغة ٢

لنفرض وجود x₁, x₂, ... بشكل متتالية من العناصر في الفضاء الطوبولوجي T. نقول أن Lالمتمية ل;T هي نهاية هذه المتساسلة و نكتب

نها_{س ← ∞} س _ن = ل

إذا و فقط إذا كان :

من أجل كل جوار S من L يوجد هناك رقم N بحيث x_n ينتمي ل;S من أجل كل قيمة ل n>N .

خواص نهايات المتتاليات

إذا كانت أ_ن و ب_ن متتاليتين لكل ن ← ∞ و نها أ_ن = ح و نها ب_ن = د و ك أى عدد حقيقى :

1. نها _{س ← ∞} (أ_ن + ب_ن) = ح + د
2. نها _{س ← ∞} (أ_ن - ب_ن) = ح - د
3. نها _{س ← ∞} (أ_ن · ب_ن) = ح · د
4. نها _{س ← ∞} ( ك · أ_ن) = ك · ح
5. نها _{س ← ∞} (أ_ن ÷ ب_ن) = ح ÷ د

و يجدر بنا ملاحظة تطابق خواص نهايات المتتاليات مع مثيلاتها من خواص نهايات الدالات و كذلك خواص الإشتقاقات.

أنواع المتتاليات

تنقسم المتتابعات إلى قسمين :

1- متتابعات حسابية ..

ويستعمل فيها القانون التالي لإيجاد الحد النوني فيها

ح ن = أ + ( ن-1 ) د

حيث أ هو حد المتتابعة الأول ود هو الفرق العام بين حدود المتتابعة ،, واليكم هذا المثال : المتتابعة :

1 ،-3 ،-7 ، -11, .... أوجد الحد العشرين فيها

أ + 1

وحتى نحصل على د نطرح كل حد من سابقة كالتالي ..

-11 -(-7) ====> -11+7 = -4

اذن د = -4

ن = 20 ===> الحد المطلوب (الحد النوني )

والآن نطبق القانون السابق :

ح20 = 1 + (20-1)-4 = 1 + ( 19 )-4 = 1 -76 = -75

2- المتتابعات الهندسية ..

يستعمل القانون التالي لإيجاد الحد النوني فيها

ح ن = أ ر( أس ) ن-¹

حيث أ : هي الحد الاول

ر: هي الفرق العام ====> غير الرمز هنا لتمييز المتتابعة الهندسية من الحسابية .

ن : هي عدد الحدود (او الحد المطلوب )

واليكم هذا المثال :

المتتابعة 3 ، 6 ، 12 ،24 . ....

اوجد الحد الخامس فيها :

نقول هنا :

أ = 3

ن = 5

حتى نستنتج ر نقوم بما يلي :

نقسم كل حد على سابقه ..

2412 —— =2 ،—— = 2 12 6

وهكذا نستنتج ان ر = 2

وبتطبيق القانون :

ح ن = أ ر( أس ) ن-¹ ح5 = 3 × 2 ( أس) 4 = 3 ×16 = 48

اذن الحد الخامس يساوي 48 ــــــــــــــ