الرئيسيةبحث

معايير تقارب سلسلة

في التحليل الرياضي، نستخدم معايير التقارب للتحقق من تقارب سلسلة لامنتهية معطاة.

لتكن لدينا السلسلة S المكونة من مجموع حدود المتتالية \left \{ a_1,\ a_2,\ a_3,\dots \right \}\!

S=\sum_{n=1}^{\infty}a_n=a_1+a_2+a_3+\dots \!

نعرف S_N\! على انها سلسلة جزئية من S\!، حيث نكتفي بمجموع أول عدد N من الحدود

S_N=\sum_{n=1}^Na_n=a_1+a_2+a_3+\dots+a_N \!

نقول عن سلسلة بأنها متقاربة اذا تقاربت المتتالية المكونة من السلاسل الجزئية \left \{ S_1,\ S_2,\ S_3,\dots \right \}.

هناك عدة معايير لتحديد ما اذا كانت السلسلة متقاربة أم متباعدة

فهرس

معيار المقارنة

نقارن حدود المتتالية \{a_n\}\! بمتتالية أخرى \{b_n\}\! بحيث من أجل أي n،

اذا كان 0 \le \ a_n \le \ b_n، و كانت السلسلة \sum_{n=1}^\infty b_n هي سلسلة متقاربة، فان\sum_{n=1}^\infty a_n متقاربة حتماً.

أما اذا كان0 \le \ b_n \le \ a_n وكانت السلسلة \sum_{n=1}^\infty b_n هي سلسلة متباعدة، فان السلسلة \sum_{n=1}^\infty a_n هي سلسلة متباعدة حتماً.

معيار دالامبير

من أجل كل القيم الموجبة لـ n وa_n، يوجد عدد L بحيث

L = \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

معيار رابي

عندما \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=1

واذا وجد عدد c>0 \! بحيث

\lim_{n\rightarrow\infty} \,n\left(\,\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|-1\right)=-1-c فعندها نقول أن السلسلة مطلقة التقارب.

معيار كوشي الجذري

نبحث عن قيمة النهاية k = \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{a_n} \!