العدد العقدي أو العدد المركب هو أي عدد على الصورة: حيث أن a و b هما عددان حقيقيان و i هو عدد تخيلي مربعه = -1. و يسمي العدد الحقيقي a بالجزء الحقيقي و العدد الحقيقي b بالجزء التخيلي. فمثلا، 3 + 2i هو عدد عقدي، فيه 3 هو الجزء الحقيقي، و 2 هو الجزء التخيلي.
و عندما يكون b (أي الجزء التخيلي) = 0، فإن قيمة العدد العقدي تساوي قيمة الجزء الحقيقي a فقط و سمي العدد عددًا حقيقيـًا صرفًا Purely real. و عندما يكون a (أي الجزء الحقيقي) = 0، كان العدد تخيليـًا صرفـًا Purely imaginary.
من الممكن إجراء العمليات الحسابية العادية على الأعداد العقدية، كالجمع و الطرح و القسمة و الضرب، تمامًا كالأعداد الحقيقية، و لكنها أيضـًا تتمتع بخصائص أخرى تمكنها من حل كافة المعادلات الجبرية العادية التي يصعب حلها باستخدام الأعداد الحقيقية فقط.
و أحيانـًا قد يكتب العدد العقدي z على الصورة z = a + bj (خصوصـًا في مجال الهندسة الكهربية، لأن i هو رمز التيار الكهربي)
فهرس |
العدد العقدي هو الذي يتكون من مجموع عددين، أحدهما عدد حقيقي و الآخر عدد تخيلي، و يكون مربع العدد التخيلي عدد سالب.
إذا فرضنا أن z هو عدد مركب، و a و b هما عددان حقيقيان، و i هو عدد تخيلي، فمن الممكن تمثيل العدد المركب z كما يلي:
يكتب العدد المركب z جبريًا بالشكل: لكن صيغته المهمة هي z = a + bi
يكتب العدد على شكل
يكتب العدد على شكل
عند ما وجد الرياضيون أن المعادلة (x²=-1)مستحيلة الحل في مجموعة الأعداد الحقيقية كان لا بد من أن يوضع لها حلاً وبما أن الرياضيات هي -وكما يقول أحد الرياضيين- العلم الذي لا نعرف فيه إن كان ما نوله صحيح أم لا. لذلك تم إيجاد عدد جديد هو العدد (تاء - ت )بالعربية وبلاتينية العدد(i)وتعريف العدد i هو الجذر التربيعي للعدد -1 .وهنا يكمن التعقيد فمن المعلوم انه ليس لعدد -1 جذر ولكن هذا في الأعداد الحقيقية فكما أنه لا وجود لعدد -5 في الأعداد الطبيعية ولكنه موجدود في الأعداد الصحيحة والحال نفسه بالنسبة لعدد i فالرياضيات هي علم وضعه البشر ولهم الحق في تطويره وتجديده وفق قواعد واضحة تضع للمنطق الرياضي لا تنافي المبادئ الرياضيةوالموضوعات والبديهيات في علم الرياضيات
نفس العمليات و القواعد الحسابية في يمكن تطبيقها على الاعداد العقدية. باستعمال تجميعية الجمع و توزيعية الضرب نحصل على ما يلي:
تتم عملية الجمع كما يلي:
تتم عملية الضرب كما يلي
تتم عملية القسمة كما يلي:
مرافق العدد العقدي هو العدد العقدي .
مرافق العدد العقدي z نرمز له ب:
جدر مربع جداء عدد عقدي في مرافقه يسمى معيار العدد العقدي
المستوى منسوب لمعلم متعامد ممنظم مباشر ، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالنقطة M التي زوج احداثياتها من ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي يسمى 'لحق' النقطة M و يرمز له بالرمز
المستوى المتجهي منسوب لمعلم متعامد ممنظم، التطبيق الذي يربط كل عدد عقدي جزؤه الحقيقي a و جزؤه التخيلي b بالمتجهة من التي أفصولها a و أرتوبها b ، هو تطبيق تقابلي و العدد العقدي يسمى 'لحق' المتجهة .