مبرهنة الأعداد الأولية

في مبرهنة الأعداد, le مبرهنة الأعداد الأولية هي نتيجة تهم كثافة توزيع عدد أولي. نعرف, لكل عدد حقيقي موجب x, العدد π

(x) كعدد الأعداد الأولية الأصغر من x, مبرهمة الأعداد الأولية هي كالآتي :

$\pi(x)\sim\frac{x}{\ln(x)}$

من أجل قيم كبيرة x (ln (x) هو لوغاريثم نيبري ل x ; بالنسبة ل $\sim$ , انظر مفهوم لاندو ).

انظر الجدول :

x	π(x)	π(x) - x / ln(x)	Li(x) - π(x)	x / π(x)
10¹	4	0	2	2,500
10²	25	3	5	4,000
10³	168	23	10	5,952
10⁴	1 229	143	17	8,137
10⁵	9 592	906	38	10,430
10⁶	78 498	6 116	130	12,740
10⁷	664 579	44 159	339	15,050
10⁸	5 761 455	332 774	754	17,360
10⁹	50 847 534	2 592 592	1 701	19,670
10¹⁰	455 052 511	20 758 029	3 104	21,980
10¹¹	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24,280
10¹²	37 607 912 018	1 416 705 193	38 263	26,590
10¹³	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28,900
10¹⁴	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31,200
10¹⁵	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33,510
10¹⁶	279 238 341 033 925	7 804 289 844 392	3 214 632	35,810
4 ·10¹⁶	1 075 292 778 753 150	28 929 900 579 949	5 538 861	37,200

احسن نتيجة تقريبية, هي تحسين للخطأ, معطاة بالصيغة التالية :

$\pi(x)={\rm Li} (x) + O \left(x e^{-\frac{\sqrt{\ln(x)}}{15}}\right)$

لقيم كبيرة ل x (Li هي الدالة لوغاريثم تكامل).

مبرهنة الأعداد الأولية تعطي معلومات حول توزيعية nرتبة عدد أولي

p(n)

$p(n)\sim n\ln(n).$

كما يمكن استنتاج ان الاحتمال ليكون عدد طبيعي n عشوائي عدد أولي هو 1/ln(n).

مبرهنة الأعداد الأولية تم صياغتها حدسيا بواسطة عالم الرياضيات الألماني كوس في 1792 و كان عمره 15 سنة و بواسطة اندري ماري في

1798 و تمت البرهنة عليها بواسطة جاك هادمارد و شارل-جون في 1896.

البرهنة تستعين بطرق التحليل العقدي, و بخاصة دالة زيتا.

بسبب العلاقة الموجودة بين دالة زيتا و π(x), فرضية ريمان ذات اعتبار مهم مبرهنة الأعداد : اذا تم البرهنة عليها, ستعطي احسن تنبؤ بنسبة الخطأ الناتجة عن مبرهنة الأعداد الأولية

هلغ فون كوخ في 1901 بين, بكيفية أدق, إذا كانت فرضية ريمان صحيحة, نسبة الخطأ تتحسن بالصيغة التالية :

$\pi(x) = {\rm Li} (x) + O\left(\sqrt x \ln (x)\right)$