دالة زيتا

دالة زيتا (اِقْتِرانُ ريمان الزَّائِيُّ حسب مجمع اللغة العربية بالقاهرة) دالة خاصّة لها أهمية عظيمة في نظرية الأعداد. تعريفها المشهور الصالح لأجل $\Re(s)>1$

$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.$

يمكن تعريفها بصيغ أخرى عدبدة نخص بالذكر منها جداء أويلر

$\frac{1}{\zeta(s)} = \prod_{p \mbox{ prime}}^\infty (1-p^{-s}).$

صيغة الدالة للأعداد الزوجية

هذه الصيغة تنسب لأولير, و هي تعطي قيمة ζ(2k) للأعداد الزوجية:

$\zeta(2k) = \frac{(-1)^{k-1} B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}$

حيث B_2k هي أعداد بيرنولي.

و هذه بعض القيم:

ζ(2) = π²/6, ζ(4) = π⁴/90, ζ(6) = π⁶/945, ζ(8) = π⁸/9450

أما بالنسبة للأعداد الفردية, فلا توجد صيغة لحساب زيتا. فقط نعرف قيمة 3 التي هي: ζ(3) = 1,2020569 ،

تصنيف الصفحة: رياضيات