زمرة (رياضيات)

مفهوم رياضي
المسمى العربي	زمرة أو مجموعة
المسمى اللاتيني	Group
الرمز العربي	غير معرف
الرمز اللاتيني	$G(S, *)\,$
رياضيون	إيفاريست جالويس
نظريات ومسلمات	نظرية الزمر
كتب ومراجع

في الرياضيات ، الزمرة group هي مجموعة مزودة بعملية ثنائية و تحقق مجموعة من الشروط أو البدهيات التي ستذكر لاحقا . مجموعة الأعداد الصحيحة تشكل زمرة بالنسبة لعمية الجمع و تعتبر مثالا للزمر . تدرس الزمر في فرع من الرياضيات يدعى نظرية الزمر .

نظرية الزمر نشأت على يد ايفارست غالويس Évariste Galois في عام 1830 ، و هي تهتم أساسا بمشكلة إيجاد متى يكون كثير حدود أو معادلة جبرية قابلا للحل soluble أي له حلولا أو جذور . قبل هذه النظرية كانت الزمر تدرس أساسا ضمن إطار دراسة طرق الترتيب Permutation .

تعريف

الزمرة Group أو المجموعة الوظيفية في الرياضيات هي عبارة عن مجموعة $G\!$ مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بـ $\bullet$ ¹ بحيث يربط كل ثنائية مرتبة $(a, b)\!$ من عناصر $G\!$ عنصر $(a \bullet b)$ من $G\!$ بحيث يحقق البديهيات Axioms التالية:

الإغلاق: $\forall a, b \in G : a \bullet b \in G$
التجميع: $a \bullet(b \bullet c) = (a \bullet b)\bullet c \ \forall a, b, c \in G$
العنصر الحيادي (identity): $\exists \ e \in G : a \bullet e = e \bullet a = a \ \forall a \in G$
العنصر النظير أو المتمم (inverse): $\forall a \in G, \exists \ \acute{a} \in G : a \bullet \acute{a} = \acute{a} \bullet a = e$

ندعو الزمرة بالأبيلية (abelian group) نسبة للرياضي أبيل (Abel)، إن حققت الشرط الإضافي التالي:

5. التبديل: $a \bullet b = b \bullet a \ \forall a, b \in G$

في حال كانت المجموعة منتهية (عدد منتهٍ من العناصر) نقول إنّ الزمرة منتهية (finite group) ويكون ترتيب الزمرة (order) مساوياً لعدد عناصر المجموعة.

تدرس هذه الكائنات الرياضية في نطاق نظرية نطلق عليها اسم نظرية الزمر group theory .

هامش

1 الرمز $\bullet$ يشير إلى عملية ثنائية رياضية كالجمع و الضرب ...الخ

تصنيفات الصفحة: بذرة رياضيات | جبر تجريدي