جذر (رياضيات)

جذر العدد هو ما إذا رفعناه لقوة معينة (عادة ما تكون 2) أعطانا العدد الأصلي، 3 هي جذر 9 لأن $32 = 9$ ، للتحديد أكثر يسمى الجذر بالجذر التربيعي لتمييزه عن الجذور التكعيبية والجذور من الدرجات الرابعة والخامسة ... إلخ.

أي عدد حقيقي موجب له جذران حقيقيان أحدهما موجب والآخر سالب، ويرمز للجذر الموجب للعدد $x$ بالرمز $\sqrt{x}$ وللجذر السالب بالرمز $-\sqrt{x}$

الجذور من درجات أعلى

بالمثل يقال أن y هو جذر تكعيبي للعدد $x$ إذا كان $y 3 = x$ ويرمز للجذر التكعيبي بالرمز $^3\sqrt{x}$ من السهل ملاحظة أن $2$ هي الجذر التكعيبي ل $8$ و أن $3$ هي الجذر التكعيبي ل $27$ و $- 3$ هي الجذر التكعيبي ل $- 27$ .

الجذور المركبة

من الممكن أيضا التعامل مع الجذور المركبة للأعداد الحقيقية، فيرمز للجذر التربيعي للعدد $- 1$ بالرمز $i$ ، ويصبح $3 i$ هو الجذر التربيعي للعدد $- 9$ ، وهكذا ، إصطلح على تسمية الكميات التي على الصورة $a i$ حيث $a$ عدد حقيقي بالكميات التخيلية، وهي جذور الأعداد الحقيقية السالبة.

تقابلنا الكميات التخيلية مرة أخرى عندما نبحث عن أكثر من جذر تكعيبي (أو من درجة أعلى) لعدد حقيقي موجب ، فالعدد الحقيقي $1$ له جذر تكعيبي واحد في الأعداد الحقيقية (هو 1 نفسه) لكن العددان المركبان $-\sqrt{3}/2-i/2, -\sqrt{3}/2+i/2$ هما أيضا جذران تكعيبيان للواحد ، بوجه عام الأعداد $\cos(k\pi/n)+i\sin(k\pi/n), k=0,1,\dots, n$ هي جميعا جذور للواحد الصحيح من الدرجة $n$

جذور كثيرات الحدود

يمكن النظر للجذر التربيعي للعدد الحقيقي $a$ على أنه حل للمعادلة الجبرية $x 2 - a = 0$ بشكل عام: إذا كانت $p(x)=a_0+a_1x+\dots+a_nx^n$ كثيرة حدود، فإن أي عدد حقيقي يحقق $p (x) = 0$ يسمى جذر لكثيرة الحدود، ويمكن اعتبار كثيرات الحدود بمعاملات من حلقة ما ودراسة الجذور في تلك الحلقة أو في حلقة ممتدة لها.