رياضيات الاستمثال

في الرياضيات ، مصطلح الاستمثال أو مفاضلية أو تحسين optimization يشير إلى دراسة مسائل من الشكل التالي :

إذا كان لدينا : دالة رياضية f : A R من مجموعة A إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. فإنه لدينا : عنصر x₀ في A بحيث أن f(x₀) ≤ f(x) من أجل جميع قيم x في المجموعة A ("تصغير" minimization ) أو بحيث أن f(x₀) ≥ f(x) من أجل جميع قيم x في المجموعة A ("تكبير" maximization ).

مثل هذه الصياغة ندعوها أحيانا : برنامج رياضي mathematical program ، و هو مصطلح لا يرتبط ببرمجة الحاسب ، لكنه يبقى مستخدما في مجالات مثل البرمجة الخطية linear programming ، فائدة هذا الحقل الدراسي تكمن في قدرته على نمذجة العديد من المسائل النظرية و الواقعية أيضا .

A تؤلف مجموعة جزئية ما من الفضاء الإقليدي Rⁿ, غالبا ما حدد عن طريق مجموعة من المحددات محددات constraints, أو المعادلات أو المتراجحات التي يجب أن تحققها عناصر A .

عناصر A تدعى حلولا ممكنة (محتملة) feasible solutions . و الدالة f تدعى دالة موضوعية objective function أو دالة الكلفة cost function . الحل الممكن الذي يقوم بتصغير أو تكبير الدالة الموضوعية (حسب الغالية التي نريدها) ندعوه الحل الأمثل (الأفضل أو الأحسن) optimal solution .

نطاق الدالة f : وهو A يدعى فضاء البحث search space ، في حين تدعى عناصر A الحلول المرشحة candidate solution أو الحلول الممكنة feasible solutions .

بشكل عام ، يكون هناك عدة نهايات صغرى محلية local minima و نهايات عظمى maxima محلية ، حيث تعرف النهية الصغرى المحلية x^* على انها نقطة تحقق : من أجل بعض القيم δ > 0 و جميع قيم x التي تحقق :

;

تكون الصيغة التالية محققة :

هذا يعني أنه على أي نطاق كروي محيط ب x^* تكون جميع قيم الدالة أكبر أو تساوي قيمة الدالة في هذه النقطة (هذا مفهوم النهاية الصغرى) . بشكل مشابه يمكننا تعريف النهاية العظمى و الكبيرة .