في الرياضيات و المنطق، حساب القضايا (propositional calculus) هو نظام يتم فيه تمثيل القضايا بربط قضايا ذرية بواسطة روابط منطقية، اضافة إلى نظام للإستدلال والبرهان تتم بواسطته برهنة نظريات منطقية.

التركيب والمعاني

التركيب

يشير التركيب إلى جملة الرموز والتراكيب التي تُبنى بها القضية المنطقية، بالإضافة إلى مجموعة القواعد التي تحكم تسلسل وسلامة تركيب هذه الرموز. يشار إلى الرموز على أنها ذرية ﻷنها أساس بناء القضايا. مجموعة الرموز تسمى أيضا أبجدية النظام. تحتوي هذه الأبجدية على الرموز الآتية:

1. الأقواس: "(" و ")".
2. الروابط المنطقية: هناك العديد من الروابط المنطقية المحتملة حسب الحاجة، نذكر منها أشهرها:
   • ¬ : النفي.
   • ∧ : الوصل.
   • ∨ : الفصل.
   • → (أو ← بالعربية) : الإستلزام.
   • ↔ : التكافؤ المنطقي.
3. الرموز المنطقية: أي رمز، عادة:
   • س
   • ع
   • ص₁، ص₂...
   • ...

تربط الروابط المنطقية بين مختلف الرموز المنطقية، كما يمكن الفصل بين القضايا المركبة باستعمال الأقواس لإيضاح أو تغيير المعنى.

أمثلة

• ¬ س
• س ∧ ع
• (س ∨ ع) ∧ ص
• س ← ع ∧ ص
• (س ← ع) ∧ ص
• ...

قضايا ذات تركيب صحيح

القضايا ذات التركيب الصحيح هي قضايا مركّبة بطريقة موافقة لقواعد التركيب. كل القضايا السابقة هي قضايا ذات تركيب صحيح، لكن القضايا التالية لها تركيب خاطئ ولذا لا يمكن استعمالها في حساب القضايا والبرهنة:

• ))
• س ع
• س ←
• ) س ← ع)
• ....

المعاني

بالمعاني (semantics) يلصق حساب القضايا معان للتراكيب المختلفة. في حساب القضايا كل قضية تشير إلى جملة تكون صحيحة او خاطئة. فمثلا لنفرض القضايا التالية:

• "الشيوعية نظام معقول": نفرضها أنها غير صحيحة، و نرمز لها بالرمز س، أي س خاطئة.
• "يعمل إداريوا الموسوعة بجد": نفرض أنها صحيحة، و نرمز لها بالرمز ع، أي ع صحيحة.
• "الحياد المطلق هدف مستحيل": نفرض أنها صحيحة، و نرمز لها بالرمز ص، أي ص صحيحة.

تكون إذن القضية ¬ س قضية صحيحة، فقد ألصقنا معنى لهذه القضية بناء على معنى القضية س الخاطئة ومعنى رابط النفي ¬.

و أيضا القضية س ∧ ع هي قضية صحيحة، بناء على معنى القضيتين ورابط الوصل.

الروابط المنطقية

بناء على كل جداول الحقيقة الممكنة بين قضيتين يمكن تركيب 16 رابطا منطقيا ممكنا، وهي كلها موضحة في الجدول التالي:

• الرابط 1 و 26 هما تمام الصحة و تمام الخطأ على الترتيب مهما كان س و ع وهما بذلك غير مفيدان.
• الرابط 4 هو س، والرابط 13 هو نفي س، كذلك الأمر مع ع والرابطين 6 و 11.
• الرابط 2 هو الفصل: س ∨ ع، والرابط 15 هو نفيه.
• الرابط 5 هو الإستلزام س ← ع و الرابط 3 هو معاكسه أي س → ع (لاحظ اتجاه السهم).
• الرابط 12 هو نفي الاستلزام ¬(س ← ع) والرابط 14 هو نفي معاكسه ¬(س → ع).
• الرابط 7 هو التكافؤ المنطقي س ↔ ع والرابط 10 هو نفيه ¬(س ↔ ع)، وأحيانا يسمّى هذا بالفصل الحصري (Exclusive or أو XOR).
• الرابط 8 هو الوصل س ∧ ع والرابط 9 هو نفيه ¬(س ∧ ع).

يظهر من هذه القائمة ان الروابط 1، 4، 6، 11، 13 و 26 غير مفيدة. تبقى الروابط العشر الأخرى التي تأخذ معناها من معنى س و ع معا، وﻷنه يمكن كتابة هذه الروابط بطرق مختلفة فإنه يتم عادة اعتبار مجموعة أقل من الروابط كما تمّ مسبقا (النفي، الوصل، الفصل، الإستلزام والتكافؤ المنطقي). يمكن اعتبار أي رابط آخر برمز مناسب عند الحاجة (مثلا: س + ع كرمز للفصل الحصري، وهو الرابط 10).

وصف رياضي عام لحساب قضايا

حساب القضايا هو نظام ل حيث ل = {أ، ج، ز، ي} و:

• أ هي مجموعة منتهية من الرموز المنطقية (أو المتغيرات المنطقية). تمثل هذه المجموعة القضايا الذرية و يرمز لها عادة بـ: س، ع، ص...
• ج هي مجموعة من الروابط المنطقية. يتمّ أحيانا تقسيم المجموعة ج إلى مجموعات جزئية بحيث يكون:
  • ج = ج₀ ∪ ج₁ ∪ ج₂ ∪ ..

عادة تحتوي كل مجموعة على الروابط المنطقية التي تأخذ عددا معينا من الرموز المنطقية، فيكون:

• • ج₀ = {1، 0} (تعتبر الصحة والخطأ روابطا منطقية).
  • ج₁ = {¬}
  • ج₂ = {∧، ∨، ←، ↔}
• ز هي مجموعة قواعد التحويل أو قواعد الإستنتاج.
• ي هي مجموعة النقاط الأساسية التي تسمى بديهيات.

مثال: نظام الإستنتاج الطبيعي

نظام الإستنتاج الطبيعي من أشهر أنظمة حساب القضايا لبساطته وسهولة الإستنتاج به. نفرض أن ل = {أ، ج، ز، ي} حيث:

• المجموعة أ تحتوي على عدد محدود من الرموز التي يمكننا بها كتابة مثالنا، مثلا: أ = {س، ع، ص، د، م، ن}.
• المجموعة ج = ج₁ ∪ ج₂ ، و:
  • ج₁ = {¬}
  • ج₂ = {∧، ∨، ←، ↔}
• مجموعة البديهيات الأولية ي فارغة.
• مجموعة قواعد الإستنتاج تحتوي على عشر قواعد، كلها لا تتطلب افتراضات ما عدا القاعدة العاشرة. القواعد هي:

1. قاعدة التضاد (Reductio ad absurdum) : من س ← ع، س ← ¬ ع نستنتج ¬ س.
2. قاعدة ازالة النفي المضاعف (Double negative elimination): من ¬¬ س نستنتج س.
3. قاعدة الوصل (Conjunction introduction): من س و ع نستنتج س ∧ ع.
4. قاعدة ازالة الوصل (Conjunction elimination): من س ∧ ع نستنتج س.
5. قاعدة الفصل (Conjunction introduction): من س نستنتج أن س ∨ ع.
6. قاعدة ازالة الفصل (Conjunction elimination): من س ∨ ع، س ← ص و ع ← ص نستنتج ص.
7. قاعدة التكافؤ (Biconditional introduction): من س ← ع و ع ← س نستنتج س ↔ ع.
8. قاعدة إزالة التكافؤ (Biconditional elimination): من س ↔ ع نستنتج س ← ع و ع ← س.
9. قاعدة الإستلزام (Modus ponens): من س و س ← ع نستنتج ع.
10. قاعدة البرهان الشرطي (Conditional proof): اذا أمكننا برهان ع بفرض س، نستنتج أن س ← ع.

البرهنة في نظام القضايا

يمكن برهنة صحة أو عدم صحة القضايا باستعمال حساب القضايا، حيث يتم استنتاج ذلك حسب تعريف حساب القضايا وباستعمال قواعد التحويل في خطوات تسمى استنتاجات أو تحويلات.

يوضح الجدول التالي برهانا للقضية س ← س، حيث تظهر خطوات البرهان سطرا بسطر:

تُقرأ س ┤ س ك: "لنفرض س، إذن س"، و تُقرأ ┤ س ← س ك: "لنفرض لاشيئ، إذن س تستلزم س".

المصادر

• Foundations of Computing, Theirry Scheurer, Addison Wesley 2004, ISBN: 020154429
• First Order Logic and Automated Theorem Proving, Melvin Fitting, Springer Verlag 1990, ISBN: 0387972331

وصلات خارجية

• مقالة عن منطق القضايا ضمن موسوعة الانترنت للفلسفة
• مقدمة إلى المنطق الرياضي
• عناصر حساب القضايا