تخميد

التخميد هى أى تأثير، ناتج عن قصد أو موجود متأصل في النظام، يميل لتقليل سعة الذبذبات.

فى الرياضيات التطبيقية، التخميد نموذج رياضي كقوة بسعة تتناسب لسرعة الجسم ولكن في عكس إتجاهها.

وفى آلات العزف الوترية مثل الجيتار والقيثارة والجيتار المعدني، التخميد يعنى إسكات صوت الوتر بعد صدور الصوت منه، بالضغط عليه بقاعدة الريشة أو بأى من أصابع اليد الموجودة على واحد أو أكثر من الأوتار الأخرى.

ويكون النظام المثالي لنظام كتلة-ياي-مخمد له كتلة $m (k g)$ ، ثابت الياي $k (\frac{N}{m})$ وثابت المخمد $R (\frac{Ns}{m})$ يمكن وصفه بالمعادلة القادمة :

$\begin{matrix} F_{spring} & = & - k x \\ F_{damper} \ & = & - R \dot{x} = - R \frac{dx}{dt} \\ \Sigma\ F \ & = & m \ddot{x} = m \frac{d^2x}{dt^t} \end{matrix}$

حيث $x$ هى إزاحة مركز الكتلة. ويمكن دمج هذه المعادلة إلى:

$m \ddot{x} + R \dot{x} + k x = 0$

وهذه معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية في $t$ . ويمكن حلها بفرض $x = e γ t$ مع $γ$ . وعندئذ:

$m γ 2 + R γ + k = 0$

والتى يمكن حلها إلى:

$\gamma = \frac{-R \pm \sqrt{R^2 - 4 m k}}{2m}$

وعندما يكون $R 2 - 4 m k = 0$ ، $γ$ حقيقي ويكون للنظام تخميد حرج. ومثال للتخميد الحرج هو غالق الباب الموجود في أماكن عامة على الأبواب.

وحينما يكون $R 2 - 4 m k > 0$ ، $γ$ لايزال حقيقا، فيقال على النظام عنئذ متعدى التخميد. وسيأخذ غالق الباب المتعدى التخميد وقت أطول في إلاق الباب عن الغالق الذى له تخميد عادي.

ويمكن كتابة الحل بصفة عامة كالتالي:

$x (t) = A e^{-\frac{R}{2m} t} cos(\sqrt{\frac{k}{m} - \frac{R}{2m}} t + \phi\ )$

حيث $A$ و $φ$ يتم تحديدهم بالوضع الأصلي وسرعة الكتلة.

تصنيف الصفحة: معادلات تفاضلية عادية