تحويل لابلاس

تحويل لابلاس عملية تجرى على الدوال الرياضية لتحويلها من مجال إلى آخر، و عادة يكون التحويل من مجال الزمن إلى مجال التردد، و هو شبيه بتحويل فوريي إلا أنه تم تطويرهما بشكل مستقل. و تحويل لابلاس مفيد في تحليل النظم الخطية (بخلاف تحويل فوريي الذي يستخدم عادة في تحليل الإشارات)، كما يستخدم لحل المعادلات التفاضلية لأنه يحولها إلى معادلات جبرية. و سمي التحويل بهذا الاسم نسبة إلى العالم الفرنسي لابلاس الذي عاش في القرن التاسع عشر.

فهرس

// مقدمة
// بعض الدالات و مقابلها في تحويل لابلاس
// أهمية و فوائد تحويل لابلاس
- تسهيل حل المعادلات التفاضلية

مقدمة

إذا رمزنا ب t للزمن
واعتبرنا s عددا مركبا
فإن تحويل لابلاس الذي نرمز له هنا ب L هو تبسيطا عملية تحول إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد.أما الأصح هو أنها عملية أي operator تحول دالة بمتغير قيمته عدد حقيقي أي real number إلى دالة بمتغير ذا قيمة معقدة أي complex number.
$f(t)^{\rightarrow^{L}}_{\leftarrow_{l}}F(s)$
و دالة التحويل L أي التي تحول دالة بمتغيير هو الزمن إلى دالة بمتغيير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي:

$L\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int^{\infty}_{0}f(t)e^{-st}dt$
و كما يوجد تحويل لابلاس فإنه يوجد تحويل لابلاس معاكس رمزت له هنا ب l و هو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل فوريي أي من دالة بمتغير قيمته معقدة إلى دالة بمتغير قيمته حقيقية. ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي:

$l\left\{F(s)\right\}=\frac{1}{2\Pi j}\int^{c+j\infty}_{c-j\infty}F(s)e^{st}ds$

بعض الدالات و مقابلها في تحويل لابلاس

$f(x)= {{1 \over {2 \pi j} }\int_{c+j\infty}^{c-j\infty} F(s) e^{st} ds}$	$F(s) = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt$
$δ(t)$	$1$
$h (t)$	$1\over s$
خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): t^{n} ، n =1,2,3	$n! \over s^{n+1}$
$t n e - a t$	$n! \over {(s+a)^{n+1}}$
$cos w 0 t$	$s \over {s^2 + w_0^2}$
$sin w 0 t$	$w_0 \over {s^2 + w_0^2}$
$e - a t cos w 0 t$	$s+a \over {(s+a)^2+w_0^2}$
$e - a t sin w 0 t$	$w_0 \over {(s+a)^2+w_0^2}$
$t cos w 0 t$	$s^2 - w_0^2 \over {(s^2+w_0^2)^2}$
$t sin w 0 t$	$2w_0s \over {(s^2+w_0^2)^2}$

أهمية و فوائد تحويل لابلاس

تسهيل حل المعادلات التفاضلية

فلنعتبر مثلا المعادلة التفاضلية التالية:

$2\ddot{x(t)}+3\dot{x(t)}+4x(t) = f(t)$

مع إعتبار الحالة أو قيمة x في الزمن 0 أي أخذ ما يسمى بال initial conditions بعين الإعتبار:

$\dot{x(0)}=a$ و $x (0) = b$

إعطاء الحل مبارشة لهذه المعادلة ( التي قد تكون مثلا معادلة جسم يقوم بحركة ما أي أنها نموذج عنه) قد يكون صعبا فما العمل? الحل هو تحويل المعادلة عن طريق تحويل لابلاس فتصير المعادلة كالاتي:

$2(s^{2}X(s)-sx(0)-\dot{x(0)})+3(sX(s)-x(0))+4X(s) = F(S)$

و ذلك عملا بالقاعدة التي تقول

و بذلك كل ما تبقى فعله الآن هو حل معادلة غير تفاضلية بسيطة و هي معادلة بولينوم من الدرجة الثانية.