دالة رياضية

الدالة الرياضية أو التابع الرياضي كائن رياضي يمثل علاقة تربط بكل عنصر من مجموعة تدعى المنطلق $X \!$ عنصر واحد وواحد فقط من مجموعة تدعى المستقر $Y \!$ . أو، باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية $f\colon X \rightarrow Y,x \rightarrow f(x) \!$

ينتج من هذا التعريف عدة أمور أساسية :

لكل تابع مجموعة منطلق (او نطاق Domain )غالباً ما تدعى $X \!$ .
لكل تابع مجموعة مستقر (او نطاق مرافق Codomain )غالباً ما تدعى $Y\!$ .
لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق $X \!$ ان يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر $Y \!$ .
يمكن لعنصر من مجموعة المستقر $Y \!$ أن يرتبط بعنصر وحيد أو أكثر من مجموعة المنطلق $X \!$ .

فاذا كان المنطلق (المجال) هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير المستقل x ، فإن المستقر أو النطاق المرافق (المجال المقابل) هو مجموعة القيم الممكنة لقيم الدالة $f(x)\!$ .

المجال المقابل ( أو المدى ) Range : هو مجموعة القيم الفعلية للدالة f .

و يجب عدم الخلط بين المجال و المستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المجال مجرد مجموعة جزئية من المستقر .

أمثلة

لنأخذ الدالة : $f\colon X \rightarrow Y,x \rightarrow x^2 \!$

أي أن $f(x)=x^2 \!$

بأخد $x = 2$ نكتب $f (2) = 4$ ، هنا بالتعرف أعلاه اختصرنا الدالة التربيعية بالحرف $f \!$ . عندئذ نجد أن العنصر $x = 2$ من المنطلق يرتبط بالعنصر $y = 4$ من المستقر فقط. العنصر $x = - 2$ من المنطلق (او المجال) $X \!$ يرتبط بالعنصر $y = 4$ فقط من المستقر، فإذا من الممكن للعنصر $y = 4$ من المستقر أن يرتبط بعنصرين $x = 2$ و $x = - 2$ من المنطلق في حين أن أي عنصر من المنطلق يرتبط بعنصر واحد فقط من المستقر. هذا أمر جوهري في تحديد كون أي علاقة بين مجموعتين تشكل دالة رياضية .

بالمقابل

$\mathrm{Root}(x) = \pm\sqrt{x}$

ليست دالة، لأنها تربط اي مدخل $x$ بمخرجين. مثل، الجذر التربيعي للعدد 9 قد يحتمل قيمتين هما 3 و -3. لهذا، اذا اردنا ان نجعل الجذر التربيعي دالةً فيجب ان نحدد اي جذر نختار، السالب ام الموجب. التعريف

$\mathrm{Posroot}(x) = \sqrt{x}, \quad \forall x\ge 0$ ،

يعطي لأي مدخل غير سالب مخرج واحد فقط هو الجذر التربيعي الموجب.

مجال الدالة

إن ربط أي عنصر من عناصر مجموعة ما مثل س ( تسمى المجال أو النطاق أو المنطلق)، بعنصر واحد فقط من عناصر مجموعة أخرى مثل ص (تسمى المجال المقابل أو المستقر أو النطاق المرافق)، هو أقتران من المجموعة س إلى المجموعة ص، والمقصود رياضيا بالأقتران هو (دالة أو تابع أو تطبيق أو مدى)، وللأقتران أو الدالة ثلاث مكونات: مجال( منطلق)، ومجال مقابل (مستقر)، وقاعدة يتم بواسطتها ربط أي عنصر من عناصر المجال (المنطلق) بعنصر واحد فقط من عناصر المجال المقابل (المستقر). والمجموعة الجزئية من المجال المقابل التي تتكون من جميع صور عناصر المجال تسمى مجال الدالة أو (مدى الأقتران). أي أن مجال الدالة أو مدى الأقتران هو مجموعة جزئية من المجال المقابل للأقتران. فمثلا : ص = د( س ) = 7س + 9.

وهناك أنواع متباينة من الدوال، كالدالة المركبة (إقتران مركب)، والدالة التحليلية ( أقتران تحليلي) ، والدالة الثابتة (أقتران ثابت)، والدالة المستمرة (أقتران متصل)، والدالة المتناقضة (أقتران متناقض)، والدالة الضمنية(الأقتران الضمني)، والدالة الأسية (أقتران أسي)، والدالة الزوجية (أقتران زوجي)، والدالة الصريحة (أقتران صريح)، والدالة المتطابقة (أقتران محايد)، والدالة الفردية (أقتران فردي)، والدالة العكسية (أقتران عكسي)، والدالة الشاملة (أقتران شامل).