مفتاح الحساب/المقالة الأولى/الباب الخامس

كل عدد يضرب في نفسه ثم ضرب في الحاصل ثم يضرب في الحاصل الثاني ثم يضرب في الحاصل الثالث وهكذا مالانهاية له فذلك العدد الأول يسمى ضلعاً أولاً بالقياس إلى كل واحد من تلك الحواصل وجذراً بالقياس إلى الحاصل الأول أعني حاصل ضرب العدد في نفسه وكعباً بالقياس إلى الحاصل الثاني وتلك الحواصل يسمى مضلعات باسم العام ولكل مضلع اسم خاص كما أن الحاصل الأول يسمى مجذوراً ومالاً ومربعاً والحاصل الثاني مكعباً وكعباً أيضاً باسم الضلع كما قيل والأولى أن يقول الكعب اسم المضلع وقد يطلقونه على الضّلع مجاذاً والحاصل الثالث مال والرابع مال كعب والخامس كعب كعب ثم مال مال كعب ثم مال كعب كعب ثم كعب كعب كعب وهكذا تبدل لفظة كعب بمالين ثم تبدل أحد المالين بكعب ثم تبدل المال الآخر بكعب أيضاً هكذا إلى مالانهاية له يكون الواحد وتلك الحواصل متناسبة على نسبة واحدة أي يكون نسبة الواحد إلى الجذر كنسبة الجذر إلى المال وكنسبة المال إلى الكعب وكنسبة الكعب إلى مال المال وهكذا يكون جميعها متناسبة إلى مالانهاية له فهذا من جانب الصعود ومثل ذلك ينبغي أن يتصور في جانب النزول أعني جزء الجذر وجزء المال وجزء الكعب وجزء مال المال إلى غير النهاية وهي أيضاً متناسبة على الولاء ونسبة كل واحد منها إلى الواحد كنسبة الواحد إلى سميّه من جانب الصعود وظاهر أن الجذر في أولى المنازل والمال في ثانيها والكعب في ثالثها وهكذا إلى مالانهاية له وإذا أردنا معرفة عدد منزلة مضلّع نأخذ لكل مال اثنين ولكل كعب ثلاثة ونجمع جميعها يحصل عدد منزلة وإن أردنا اسم المضلّع من عدد منزلة ينظر إن كان له ثلاث صحيح نأخذ بعدة ثلاثة كعباً ونضيف بعضها إلى بعض يكون اسم ذلك المضلع وإن لم يكن له ثلاث صحيح نأخذ منه اثنين ونجعلهما مالا وبعدة ثلاث الباقي كعاباً إن كان له ثلاث صحيح وإلا نأخذ اثنين آخرين ونجعلهما مالا آخر وبقدر ثلاث الباقي تكرر الكعاب ونقدم لفظ المال على الكعب يحصل اسم المضلع

فاعلم أن كل مضلّع يوجد له ضلع يتولد ذلك المضلّع منه بالحقيقة يقال له أنه منطق ومالا يوجد له ضلع وكذلك يقال أنه أصم والمضلعات المنطقة يقع جميعها في مرتبة الآحاد والأموال المنظقة لا يقع في العشرات ويقع في المئات ولا يقع في الألوف ويقع في عشراتها وإما المكعب فيقع في الألوف ثم في ألوف الألوف وطريق معرفة ذلك أن تبتدء من مرتبة الآحاد ونأخذ مراتب بعدة منزلة أي مضلع شئنا ونسميها دور المنطق والأصم ثم نأخذ دورا آخر بتلك العدة أيضاً وهكذا بالغاً ما بلغ فيكون ذلك المضلع منطقا في أول كل دور وأصماً في البواقي فعلم منها ان المجذور يقع في مرتبة ولا يقع في مرتبة والمكعب يقع في مرتبة ولا يقع في مرتبتين ومال المال يقع في مرتبة ولا يقع في ثلاث مراتب وعلى هذا القياس

أما استخراج الجذر فطريقه أن نضع العدد المطلوب جذره ونخط فوقه خطاً عرضياً وبين كل مرتبتين خطاً طولياً كما وصفنا في القسمة ونعلم كل مرتبة من المراتب الأفراد علامة لتمييز المراتب المنطقة أو نثنى الخطوط التي كان كل واحد منها فاصلة بين الأدوار ثم نطلب أكثر عدد من الآحاد إذا ضربناه في نفسه وننقص الحاصل من النطق الأخير بصورته ومما عن يساره إن كان في يساره شيء لا يبقى شيء أو يبقى مما ينقص منه فإذا وجد عدد بهذه الصفة نضعه فوق المنطق الأخير وتحته بمسافة يقتضيها العمل كما في القسمة محاذياً له ونضرب الفوقاني في التحتاني أي في نفسه وننقص الحاصل مما يحاذيه ومما على يساره في الذهن أو يوضع الحاصل ونضع الباقي تحته بعد أن نخط بينهما بفاصلة ثم نزيد الفوقاني على التحتاني وننقل المجموع إلى جانب اليمين بمرتبة واحد بعد أن نخط على فوق ما كان أولا خطاً عرضياً ليدل على محوه ويصير حينئذ آحاده محاذية لأصم كان في يمين المنطق الأخير ثم نطلب أكثر عدد من الآحاد نضعه فوق المنطق المتقدم على المنطق الأخير وتحته على يمين ما ننقله يمكن أن نضرب ذلك المفرد الفوقاني في مرتبة مرتبة من التحتانية وننقص الحاصل بصورته مما يحاذيه ومما عن يساره فإذا وجد ونعمل به ما ذكرنا نريد ذلك العدد المفرد الفوقاني على التحتاني وننقل ما في السطر التحتاني إلى اليمين بمرتبة وإن لم يوجد فنضع فوق العلامة وتحته على يمين ما ننقله صفراً وننقل وهكذا نعمل إلى أن ينتهي إلى المنطق الأول ونعمل به ما عملنا الغيره فما حصل فوق الجدول في سطر الخارج فهو الجذر لذلك العدد إن لم يبق في صف العدد تحت الخط الفاصل شيء فنعلم أن ذلك العدد منطق وإن بقي شيء فنعلم أنه أصم وحينئذ ينبغي أن نزيد ما كان فوق المنطق الأول على التحتاني فما حصل يساوي ضعف الحاصل في سطر الخارج ونزيد على ذلك المبلغ واحد ليحصل ما بين مربع العدد الذي خرج بالعمل والمربع الذي زاد عليه بواحد فإذا جعلناه مخرجاً والباقي من العدد كسراً فما حصل فوق العلامات مع هذا الكسر يكون جذر ذلك العدد بالتقريب الاصطلاحي

مثاله أردنا أن نستخرج جذر هذا العدد 331778 وضعناه ورسمنا الجدول واعلمنا العلامات كما ذكرنا ثم طلبنا أكثر عدد بالصفة المذكورة فوجدناه خمسة وضعناها فوق المنطق الأخير وتحته بمسافة وضربناها في نفسها فحصل 25 نقصناه مما يحاذي الخمسة ومما عن يسارها بالصورة وذلك 33 فبقيت ثمانية وضعناها تحت الثلاثة بعد أن خططنا بينها وبين المنقوص منه بفاصلة وزدنا الفوقاني على التحتاني فصار 10 نقلناه بمرتبة بعد أن خططنا فوق الخمسة التحنانية خطة ليدل على محوها ثم طلبنا أكثر عدد مفرد آخر بالصفة المذكورة فوجدنا سبعة وضعناها فوق المنطق المتقدم على المنطق الأخير وتحتها على يمين آحاد المنقول وضربناها أولاً في الواحد التحتاني فحصلت أيضاً سبعة نقصناها من الثمانية التي بحاذبها بقي واحد وضعناها تحت الثمانية بعد الفاصلة وتركنا ضربها في الصفر لإن الحاصل أيضاً صفر ثم ضربناها في السبعة التي على يمين الصفر حصل 49 نقصناه مما يحاذيها ومما يحاذيها ومما على يسارها أعني 117 فبقي 64 وضعناه تحت ذلك بعد الخط الفاصل نعم ثلاثة جداول التي فيها 117 ثم زدنا السبعة الفوقانية على التحتانية فحصل في السطر التحتاني 114 نقلناه بمرتبة إلى اليمين بعد التخطيط فوق ما كان ثم طلبنا أكثر عدد آخر بالصفة المذكورة فوجدنا ستة وضعناها فوق المنطق الأول وتحته يمين ما نقلناه وضربناها أولاً في الواحد الأخير ثم في الواحد المتقدم ثم في الأربعة ثم في الستة ونقصنا الحواصل مما يحاذي كلاً منها أو من المحاذي له مما على يساره فبقيت من العدد خمسة ثم زدنا الفوقاني أعني الستة على التحتاني أعني 1146 وزدنا واحداً فصار 1153 فهو المخرج الكسر الذي هي الخمسة الباقية وما حصل فوق الجدول وهو الصحاح فالجذر الخارج من العمل

وجدول العمل هذين وسنورد عملاً نستخرج به جذر الأصم أدق من ذلك وإن أردنا نضرب كل مفرد من سطر الخارج إذا وجد فيما في التحتاني في حكم الثابت بطريق ما كان أحد المضروبين مفرداً ونضع الحاصل تحت العدد وننقصه منه وهو أسهل إذا كان الأرقام كثيرة وذلك ما استنبطناه وأما الطريق الأولى فنحن نفتحناها هكذا

أما استخراج الضلع الأول لسائر المضلعات فالعمل فيه أن نضع العدد المضلع المفروض الذي نريد أن نستخرج ضلعه الأول ونرسم الجدول كما ذكرنا في عمل الجذر ونبدأ من مرتبة الآحاد ونعد دوراً بحيث يكون عدد مراتب كل دور بعدة المنزلة التي يكون للمضلع المفروض كما ذكرنا ونجعل الخطوط الطولية التي وقعت بين كل دورين مثناة لتميز الأدوار فيكون أوائل الأدوار هي المراتب المنطقة بالمضلع المفروض والبواقي هي الأصمة به ثم نقسم طول الجدول أقساما عدتها مساوية لعدد منزلة ذلك المضلع ونخط بين كل قسمين خطاً عرضياً وينبغي أن يكون طول كل قسم مقدارا صالحا على ما يقتضي العمل ويسمى القسم الأعلى صف العدد والقسم الأسفل صف الضلع والذي فوق الأسفل صف المال والذي فوقه صف الكعب وهكذا إلى أن ينتهي إلى صف العدد وما فوق صف العدد على فوق الجدول سطر الخارج ويسمى أيضاً القسم الذي تحت صف العدد ثاني العدد والذي تحته ثالثة وهكذا إلى صف الضلع ونبدأ بدور الأخير ونطلب أكثر مفرد من الآحاد يمكن أن ننقص مضلعه أي مضلع المفروض المتولد من ذلك المفرد عما وقع في الدور الأخير من العدد أي الأيسر وقد وضعنا المضلعات المتوالية من المال إلى مال مال كعب الكعب لكل واحد من مفردات الآحاد في جدول ليسهل طلب المفرد المذكور فإذا وجد نضعه فوق المرتبة المنطقة الأخيرة في سطر الخارج وتحتها في أسفل صف الضلع محاذياً له ونضرب المفرد الفوقاني في التحتاني ونضع الحاصل أي مربعة في أسفل صف المال بحيث يكون آحاده محاذية لما وضع في صف الضلع أي في الجدول المنطق الأخير وعشراته عن يساره في جدول أخر ثم نضرب المفرد الفوقاني فيما وضع في أسفل صف المال ونضع الحاصل أي مكعبه في أسفل صف الكعب بالشرط المذكور وهكذا إلى أن ينتهي إلى الصّف الذي نسميّه ثاني العدد فحيئنذ يكون جميع الأعداد الحاصلة في الصفوف هي المضلعات المتوالية لذلك المفرد فنضرب المفرد الفوقاني فيما وضع في صف ثاني العدد فما حصل هو المضلّع المطلوب لذلك المفرد ننقصه عما يحاذيه من صف العدد ثم نزيد المفرد الفوقاني على التحتاني الموضوع في صف الضلع مرة لصف ثاني العدد ونضرب الفوقاني أيضاً فيما حصل في صف الضلع ونزيد الحاصل على ما في صف المال ونضرب الفوقاني أيضاً فيما هو في صف المال ونزيد الحاصل على ما في صف الكعب وهكذا إلى أن نزيد على صف ثاني العدد ثم نزيد الفوقاني على التحتاني الذي في صف الضلع مرة ثانية لصف ثالث العدد ونضرب المفرد الفوقاني فيما أحصل حيئنذ في صف الضلع ونزيد على ما فوقه وهكذا إلى أن ينتهي إلى صف ثالث العدد ثم نزيد الفوقاني على التحتاني الذي في صف الضلع مرة ثالثة لصف رابع العدد وهكذا إلى أن ينتهي إلى صف الضلع فزيد الفوقاني على ما في صف الضلع لاجله وننقل ما هو في ثاني العدد إلى اليمين بمرتبة وما في صف ثالث العدد بمرتبتين وما تحت ذلك بثلاث مراتب هكذا إلى أن ينتهي إلى صف الضلع فننقله بعدة الصفوف التي تحت صف العدد فيقع آحاده بحذاء مرتبة يتقدمها المرتبة المنطقة التي يتقدم المنطقة الأخيرة

واعلم أن طريقة ضرب المفرد الفوقاني فيما وضع في كل صف وزيادة الحاصل على ما فوقه أو نقصان الحاصل مما في صف العدد أن نضربه فيما وضع في أي صف على ما ذكرنا فيما كان أحد المضروبين مفرداً ونضع الحاصل على الصف الذي فوق ذلك الصف بحيث يكون آحاده محاذية للمفرد الفوقاني المضروب أي واقعة في جدول أول الدور فوق ما كان فيه بعد أن نخط بينهما خطاً عرضياً ليدل على محو ما تحته في ذلك الصف إلا في صف العدد لأن في ذلك الصف ينبغي أن نضع حاصل الضرب تحت العدد وننقصه منه بصورته ونضع الباقي تحته بعد أن نخط بينهما بخط عرضي ليدل على محو ما فوقه في ذلك الصف فلا يزال يكون ما هو في حكم الثبات في صف العدد تحت الخط الفاصل وفي سائر الصفوف فوقه لإن وجه عمل صف العدد إلى ما تحته ووجه عمل سائر الصفوف إلى ما فوقه ثم نطلب أكثر مفرد من الآحاد إذا وضع فوق الجدول المنطق الذي يتقدم المنطق الأخير في سطر الخارج وتحتها في صف الضلع على ايسر ما وضع فيه فوق الخط الفاصل وضرب في جميع ما في صف الضلع أي فيما هو في حكم الثبات وزيد الحاصل على ما في صف المال ثم ضرب المفرد الفوقاني أيضاً في جميع ما صف المال في الثبات وزيد الحاصل على ما في صف الكعب وهكذا إلى أن ينتهي إلى صف ثاني العدد فنضرب المفرد الفوقاني في جميع ما في ذلك الصفر يمكن أن ينقص الحاصل مما يحاذيه من صف العدد فإذا وجد نعمل به ما قلنا وبعد الفراغ من النقصان عن العدد نزيد المفرد الفوقاني على ما في صف الضلع فوق الخط الفاصل ونعمل بع كما تقدم لاجل صف صف ثم ننقل ما في الصفوف على الترتيب المذكور فإن لم نجد مثله نضع فوق الجدول المنطق المذكور صفراً وننقل مرة أخرى ما في الصفوف على الترتيب ثم نعمل بالمنطق الذي ينتهي إليه كما ذكرنا إلى أن ينتهي إلى المنطق الأول فنعمل به كما سبق حتى أن ننقص الحاصل عن العدد فإن لم يبق في صف العدد تحت الخط الفاصل شيء كان العدد المفروض منطقاً وما حصل في سطر الخارج فهو ضلعه الأول وإن بقي شيء فالعدد أصم والباقي هو كسر ومخرجه حسب التقريب الاصطلاحي هو ما بين مضلع الخارج وبين مضلع يزيد ضلعه على الخارج بواحد فيعمل بالمفرد الموضوع فوق المنطق الأول ما عملنا إلى وقت النقل وحيئنذ نجمع ما في جميع الصفوف التي تحت صف العدد فوق الخط الفاصل ونزيد على المجموع واحداً والحاصل هو ما بين المضلعين المطلوب أعني مخرج الكسر الاصطلاحي ويندرج في هذه الموامرة عمل استخراج الجذر أيضاً لكنا ذكرناها أولاً على الأنفراد ليسهل فهمه على المبتدئ

مثاله أردنا أن نستخرج الضلع الأول لهذا العدد 44240899506197 على أنه مال كعب وهو في المنزلة الخامسة فرسمنا الجدول كما ذكرنا ووضعنا العدد المذكور فيه وهو أربعة وأربعون ألف ألف ألف ألف ومائتان وأربعون ألف ألف ألف وثمانمائة وتسعة وتسعون ألف ألف وخمسمائة وستة الآف ومائة وسبعة وتسعون وفصلنا دوراً دوراً عدة مراتب كل دور بعدد منزلة مال الكعب الذي هو خمسة بالخطوط المثناه ثم طلبنا أكثر مفرد يمكن أن ينقص مال كعبه عن العدد المذكور وجدناه خمستة وضعناها فوق المنطق الأخير في سطر الخارج وتحته في أسفل صف الضلع ووضعنا مضلعاتها في أسافل صفوفها أعني مربعها وهو 125 في صف الكعب ومال مالها وهو 625 في صف مال المال ومال كعبها وهو 3125 في صف العدد تحت العدد بحيث يكون آحاد كل واحد منها في جدول المنطق الأخير ثم نقصنا ما وضعنا تحت العدد منه ووضعنا الباقي تحته بعد أن خططنا بينهما خطاً ليدل على محو ما فوقه ثم زدنا الخمسة الفوقانية على التحتانية ووضعنا المجموع وهو عشرة فوقها في صف الضلع بعد أن خططنا فوقه خطاً ليدل على محو ما تحته وضربنا الخمسة المذكورة في المجموع ووضعنا الحاصل فوق ما وضع في صف المال بحيث يكون آحاده في جدول المنطق الأخير وزدنا عليه ووضعنا المجموع فوقه بعد أن خططنا بينهما وضربنا الخمسة فيه وزدنا الحاصل على ما في صف الكعب وضربناها في الحاصل وزدناه على ما في صف مال المال ثم زدنا الخمسة الفوقانية على التحتانية مرة ثانية لصف الكعب وضربناها فيه وزدنا الحاصل على ما في صف المال وضربناها فيه وزدنا الحاصل على ما في صف الكعب ثم زدنا الخمسة المذكورة الفوقانية على التحتانية مرة ثالثة لصف المال وضربناها فيه وزدنا الحاصل على ما في صف المال ثم زدنا الفوقانية على التحتانية مرة رابعة لصف الضلع فحصل الان في الصفوف فوق الخطوط الفواصل هكذا في صف الضلع 25 وفي صف المال 250 وفي صف الكعب 1250 وفي صف مال المال 3125 وقد حان وقت النقل فنقلنا ما في صف مال المال وهو صف ثاني العمل بمرتبة واحدة وما في صف الكعب بمرتبتين وما في صف المال بثلاث مراتب وما في صف الضلع بأربع مراتب فوقعت مرتبة آحاد ما في صف الضلع في جدول بتقدمه جدول الدور المتقدم على الدور الأخير ثم طلبنا أكثر مفرد بالصيغة المذكورة في الموامرة وجدناه ثلاثة وضعناها فوق المنطق المتقدم على المنطق الأخير وتحتها في صف الضلع على يمين الخمسة فحصل في صف الضلع 253 وضربناها في ذلك وزدنا الحاصل على ما في صف المال وهكذا إلى أن انتهينا إلى صف مال المال فضربناها فيما حصل فيه ووضعنا الحاصل تحت العدد ونقصناه من العدد ثم زدنا الثلاثة الفوقانية على ما في صف الضلع مرة لمال المال وضربناها في المجموع وزدنا الحاصل على ما فوقه على القياس المذكر إلى أن انتهينا إلى صف مال المال ثم زدناها على ما في صف الضلع مرة ثانية لصف الكعب وهكذا إلى أن زدناها على ما في صف الضلع مرة رابعة لصف الضلع فحصل الأن في الصفوف هكذا فوق الخطوط الفواصل في صف الضلع 265 وفي صف المال 28090 وفي صف الكعب 1488770 وفي صف مال المال 39452405 وقد حان وقت النقل نقلنا على القياس المذكور ثم طلبنا أكثر عدد بالصفة المذكورة فوجدناه ستة وضعناها فوق المنطق الأول وتحتها في صف الضلع على يمين الثلاثة وضربناها في المجموع وزدنا الحاصل على ما فوقه وهكذا إلى أن انتهينا إلى صف مال المال فضربناها فيما هو فيه ونقصنا الحاصل من العدد فبقي في صف العدد تحت الخط الفاصل 21 ولو لم يبق فيه ذلك لكان العدد الذي فرضناه مال الكعب منطقاً وضلعه الأول 536

وهذا هو الذي حصل في سطر الخارج وتم العمل فلما بقي 21 علم أنه كان أصّم فاحتجنا إلى ما بين مال كعب 536 ومال كعب 537 ليكون مخرجاً لما بقي عن العدد وهو 21 فزدنا الستة الفوقانيّة على ما في صف الضلع مرة لصف مال المال وعملنا بها على القياس المذكور ومرة ثانية لصف الكعب وعملنا بها على ذلك القياس وهكذا إلى أن زدناها عليه لأجله فتم العمل هكذا

وما حصل في الصفوف الأربعة وضعناه في جدول آخر وجمعناها وزدنا على المجموع واحداً صار ما بين المضلعين المنطقين المتواليين أعني ما بين مال الكعب 536 ومال الكعب 537 وهو المخرج الاصطلاحي فصار الحاصل من العمل أعني الضلع الأول للعدد المذكور على أنه مال كعب