مفتاح الحساب/المقالة الأولى/الباب الثالث

وهو في الصحاح طلب امثال أحد العددين بعدة الآخر ويسمى أحدهما مضروباً والآخر مضروباً فيه والتعريف الجامع هو تحصيل عدد يكون نسبته إلى أحد المضروبين كنسبة المضروب الآخر إلى الواحد أمّا ضرب ما دون العشرة بعضها في بعض فقد اوردناه في جدول

ووضعنا أحد المضروبين في طول الجدول والآخر في عرضه وحاصل الضرب في الموضع المحاذي لهما أي ملتقاهما والجدول هذا فعلى المحاسب أن يحفظه ويمكنه في الذهن ليسهل عليه العمل بما زاد عليه

أما ضرب ما فوق العشرة فإن كان أحد المضروبين مفرداً نضرب العدد المفرد بصورته إن كان أكثر من الواحد في كل واحد مما في مراتب المضروب فيه ونضع آحاد الحاصل تحت تلك المرتبة محاذية لها بعد أن نخط بينهما بفاصلة وعشراته على يساره إن كان مع الحاصل عشرات ويكون آحاد كل حاصل محاذية لعشرات ما يتقدمه فحصل تحت الخط الفاصل في أكثر الحال سطر إن نجمعهما كما ذكرنا في عمل الجمع ونضع للحاصل سطراً آخر ونقلنا إليه أصفار المضروب فيه إن كانت معه ثم نضع على يمين سطر الحاصل صفراً أو أصفاراً بعدة الأصفار التي كانت مع المفرد المضروب إن كانت معها مثاله أردنا أن نضرب الأربعة في الثمانية حصل 32 وضعنا الاثنين تحت الثمانية والثلاثة تحت السبعة في جنبها ثم ضربناها أيضاً أعني الاربعة في السبعة حصل 28 وضعنا تحت السبعة الثمانية حذاً السبعة تحت الثلاثة والاثنين على يسار الثمانية ثم ضربناها في الأربعة حصل 16 وضعنا الستة تحت الأربعة والواحد في يسارها ثم ضربناها في الخمسة حصل 20 وضعنا الصفر تحت حذاً الخمسة تحت الواحد والاثنين على يساره فوقع تحت الخط الفاصل سطران جمعناهما كما ذكرنا في عمل الجمع ونقلنا الصفرين الذين مع المضروب فيه إلى سطر الحاصل حصل هذا العدد 2,191,200

ولو كان المفرد المضروب ليس من الآحاد كالأربعة آلاف مثلاً نضع على يمين الحاصل الأصفار الثلاثة التي مع المفرد المضروب الذي هو أربعة الأف ليصير الحاصل هكذا 2,191,200,000 وإن كان المفرد المضروب مجرداً أعني يكون واحداً في أي مرتبة كان نقلنا الأصفار التي معه إلى يمين المضروب فيه فحسب

وأن لم يكن أحد المضروبين مفرداً فنرسم شكلاً ذا أربعة أضلاع ونقسم طوله بعدة مراتب أحد المضروبين وعرضه بعدة الآخر بخطوط طوليه وعرضيه لينقسم الشكل بمربعات صغار ثم نقسم كل مربع بمثلثين فوقاني وتحتاني بخطوط مؤرّبة متوازية بحيث ينقسم من كل مربع الزاوية الفوقانية اليمنى والتحتانية اليسري ويسمى هذا الشكل بالشبكة ثم نضع أحد المضروبين فوق الشكل بحيث يقع كل مرتبة منه فوق المربع على الولاء والآخر على يساره بحيث يكون العشرات فوق الآحاد والمئات فوق العشرات وهكذا متصاعدة ونضرب كل واحد من مفردات المضروب بصورته في كل واحد من مفردات المضروب فيه بصورته ونضع الحاصل في المربع المحاذي لكل واحد من المضروبين الآحاد في المثلث التحتاني والعشرات في المثلث الفوقاني وكل مرتبة يكون فيها صفر فيترك المربعات التي يحاذيها خالية أو نضع في مثلثاتها التحتانية صفراً لإن ضرب الصفر في أي عدد يكون صفراً ثم نضع تحت المثلث التحتاني من المربع الواقع على ملتقى مرتبتي الآحاد من المضروبين ما فيه بعينه وهو أول سطر الحاصل ثم نجمع ما بين الخطين المؤرّبين الذين كان بعده ونضع الحاصل على يسار ما وضعنا أولاً في السطر الحاصل إن كان أقل من العشرة وإلا نضع آحاده ونزيد لكل عشرة واحد أعلى حاصل الضرب المؤرّب الذي كان بعده وهكذا نجمع ما في كل سطر مؤرب إلى أن يتم وإن لم يكن في أحد السطور المؤربة عدد وضعنا لأجله صفراً في السطر الحاصل مثاله أردنا أن نضرب هذا العدد 7,806 في هذا العدد 175 فرسمنا الشكل كما قلنا ووضعنا المضروبين فوقه ويساره ثم ضربنا السبعة التي وقعت في مرتبة الألوف بصورته في الواحد فكان الحاصل أيضاً سبعة وضعناها في المثلث التحتاني من المربع والواقع في ملتقاهما ثم ضربنا السبعة أيضاً في السبعة حصلت تسعة وأربعون وضعناها في ملتقاهما الآحاد في المثلث التحتاني والعشرات في الفوقاني ثم ضربناها في الخمسة ووضعنا الحاصل كذلك في ملتقاهما وهكذا عملنا بالثمانية التي وقعت في مرتبة المئات وبالستة التي وقعت في مرتبة الآحاد وتركنا السطر المحاذي للصفر خالياً ثم جمعناها في كل سطر من السطور المؤرّبة كما ذكرنا في الموامرة إلى أن يحصل تحت الشكل سطر الحاصل وهذه الشبكة

وإن كان في مرتبة الآحاد من أحد المضروبين أو كليهما صفراً وكان في الآحاد والعشرات والمائت وهكذا في المراتب المتوالية من الجانب الأيمن لم تحتج إلى أن نرسم الشبكة بقدر جميع المضروب والمضروب فيه كما ذهب عليه بعض اصحاب هذا الفن بل نرسم الشبكة بقدر باقي المراتب بعد حذف الأصفار المتوالية حتى إذا حصل سطر الحاصل نضع على يمينه صفراً أو أصفاراً بعده مجموع الأصفار المتوالية التي حذفناها من المضروبين أو أحدهما

نوع آخر ولنا أن نرسم الشبكة صورته ونقسم كل مربع منها بمثلثين بخطوط طولية بحيث ينقسم من كل مربع الزاويتان المتقابلتان أعني الفوقانية والتحتانية ثم نضع أحد المضروبين على خارج الضلع الأيمن والفوقاني والآخر على الايسر الفوقاني على الولاء من اليمين إلى اليسار ونضرب كل واحد من مفردات المضروب في كل واحد من مفردات المضروب فيه ونضع الحاصل في المربع الذي وقع في ملتقاهما الآحاد في المثلث الأيمن والعشرات في المثلث الأيسر إلى أن يتم ثم نخط تحت الشبكة خطاً ونضع ما في المثلث الأيمن الذي وقع في الزاوية اليمنى من الشبكة تحت الخط بعينه ثم نجمع ما كان فيما بين الخطين الطوليين اللذين عن يساره وتضع الحاصل على يسار ما وضعنا أولاً ثم ما في السطر الذي عن يساره وهكذا إلى أن يتم مثاله أردنا أن نضرب هذا العدد 358 في هذا العدد 624 رسمنا الشبكة المؤرّبة كما ذكرنا وتممنا العمل على هذه الصورة

نوع آخر لا يحتاج فيه إلى رسم الشبكة مستنبط عن النوع المتقدم والعمل فيه أن نضرب ما في أول مراتب المضروب أعني من جانب اليمين بصورته في كل واحد مما في مراتب المضروب فيه بصورته اخذاً من اليمين إلى اليسار ونضع الحاصل الأول وإن لم يكن مع الحاصل عشرات نضع موضعها صفراً وهكذا نعمل في كل ضرب لئلا يتخلل ونضع آحاد الحاصل الثاني تحت عشرات الحاصل الأول وآحاد الثالث تحت عشرات الثاني وهكذا نضع آحاد كل حاصل تحت عشرات حاصل كل ضربه في المرتبة المتقدمة منه بالغاً ما بلغ ثم نبدأ بضرب ما في ثاني مراتب المضروب بصورته في كل واحد مما في مراتب المضروب فيه بصورته اخذاً من اليمين إلى اليسار أيضاً ونضع آحاد الحاصل الأول فوق عشرات حاصل أول ضرب مراتب المضروب في أول مراتب المضروب فيه وآحاد الثاني تحت عشرات الأول هكذا إلى أن يتم ثم نبدأ بضرب ثالث مراتب المضروب بصورته في كل واحد مما في مراتب المضروب فيه بصورته كما ذكرنا ونضع آحاد الحاصل الأول فوق عشرات حاصل ضرب المرتبة المتقدمة من المضروب في المرتبة الأولى من المضروب فيه هكذا إلى أن يتم العمل فحصل أعداد بعضها فوق بعض نجمعها كما هو رسم الجمع فاحصل فهو المطلوب مثاله أردنا أن نضرب أحد العددين المذكورين في الآخر وهما

358 624

بدأنا بضرب الثمانية في الأربعة أولاً حصل 32 وضعنا ثم ضربنا الثمانية أيضاً في الاثنين حصل 14 وضعناه بحيث وقعت الستة تحت الثلاثة ثم ضربنا الثمانية أيضاً في الستة حصل 48 وضعناه بحيث وقعت الثمانية تحت الواحد ثم بدأنا بالخمسة وضربناها في الأربعة أولاً حصل 20 وضعناه بحيث وقع الصفر تحت الاثنين ثم ضربنا الخمسة في الستة حصل 35 وضعناه بحيث وقع الصّفر تحت الواحد ثم بدأنا بالثلاثة وضربناها في الأربعة أولاً حصل 12 وضعناه بحيث وقع الاثنان فوق الاثنين ثم ضربنا الثلاثة في الاثنين حصلت ستة وضعناها تحت الواحد ووضعنا على يسار الستة صفراً لئلا يتخلل ثم ضربنا الثلاثة في الستة حصل 18 وضعناه بحيث وقعت الثمانية تحت الصفر فحصل أعداد بعضها فوق بعض جمعناها كما ذكرنا في عمل الجمع هكذا

12 0620 181032 3016 + 48 ________ 223392

نوع آخر نضرب كل واحد من مفردات المضروب بصورته على الولاء في المضروب فيه بطريق ما كان أحد المضروبين مفرداً كما ذكرنا حتى يحصل من كل ضرب في أكثر الحال سطران الخط تحتهما خطاً عرضياً ونضع كل السطرين اللذين حصلا من ضرب تحت آخرين على الولاء بحيث يقع آحاد كل السّطرين محاذية لعشرات السطرين المتقدمين عليهما فيحصل أعداد بعضها فوق بعض نجمعها كما هو رسم الجمع مثاله ضربنا هذا العدد 456 في هذا العدد 2,783 عملنا هكذا

4218 1248 _________ 3515 1040 _________ 2812 832 _________ 1,269,048

ولا يخفى ذلك على الذكي إذا تأمل فيه وهذا النوع أسهل من سائر الأنواع إلا أن الشبكة أقرب إلى فهم المبتدئين وإن كانت مراتب المضروب والمضروب فيه كثيرة فالأولى أن نزيد أحدهما على نفسه ثم المجموع ثم على المجموع هكذا ثمانية مرات أو تسعة ونضع كل حاصل تحت الحاصل المتقدم في جدول بحيث يكون الآحاد كلها متحاذية وكذلك كل مرتبة فهي حواصل ضربه في الأرقام التسعة ونضع على يمينها الأرقام التسعة في جدول آخر بحيث يكون كل حاصل بإزاء المضروب فيه من الأرقام التسعة تسميه بجدول تضاعيف ذلك العدد ثم ندخل فيه ونأخذ بإزاء آحاد المضروب الآخر ثم بإزاء عشراته ثم بمائته وهكذا إلى آخره ونضع المأخوذ الثاني تحت الأول بحيث يكون آحاده محاذية لعشرات الأول والمأخذ الثالث تحت الثاني بحيث يكون آحاده تحت عشرات الثاني وهلم جرا ثم نجمع الجميع والحاصل هو المطلوب وجدول تضاعيف أحد المضروبين المذكور في العمل المتقدم هكذا

وعمل الضرب المذكور عنه هكذا

وجميع ما في هذا الباب مما استنبطته سوى الشبكة الأولى