كتاب في الأصول الهندسية/الكتاب الأول

1. الهندسة علمُ موضوعه قياس المقادير. والمقدار هو كل ما لهُ واحدٌ من ثلاثة أشياء وهي طولٌ وعرضٌ وعمقٌ
2. قد استعملت في علم الهندسة اصطلاحاتٌ شتَّ كالحد والقضية والأوليَّة والنظريَّة والعمليَّة والسابقة والتعليقة والفرع وغير ذلك مما سترى
3. الحد هو إيضاح معنى لفظة اصطلاحيَّة. ويجب أن تكون تامَّا لا أشكال فيه وأن تكون الفاظهُ المفردة اعتياديَّة مفهومة
4. الاوليَّة قضية واضحة لا تقبل زيادة ايضاح كقولهم الكل أعظم من جزءه
5. النظرية قضيَّة محتاجة إلى برهان لاثبات صحتها كقولهم أن الزوايا الثلاث من كل مثلث تعدل قائمتين
6. البرهان المستقيم هو ما أثبت صحة قضية باثبات محاليَّة فسادها ويسمى أيضاً البرهان السلبي والتحويل إلى المحال
7. العملية هي قضية حاوية عملاً مطلوباً اتمامةُ كقولهم علينا أن نرسم خطَّا عموداً على آخر وان نقسم عدداً إلى اجزاء مفروضة
8. حل عملية هو استخراج جوابها. فان عبر عن ذلك باعداد سمي حلاً عددياً أو بمبادى هندسية فهندسيَّاً. وان تم بواسطة امتحانات فميكانكيَّاً أو صناعيَّاً
9. السابقة قضية استعدادية ذُكِرَت قبل أخرى لكي يُختَصَر بها برهان الاخرى
10. الفرع نتيجة تُستنتج بالاستقامة من قضية سابقة لها
11. التعليقة قول مبنى على قضيَّة سبقته
12. الإفتراض هو أن يسلم بصحة قضية لكي يبنى عليها برهان قضية اخرى
13. المقتضيات أو الممكنات عملياتٌ يسلّم بامكان عملها من أول وهلةٍ
14. النظام هو صناعة وضع جملة براهين متتابعة على ترتيب مناسب للبحث عن صحة قضية أو فسادها أو لبرهانها للغير
15. التحليل هو استعلام صحة قضية بالتأخر من القضية نفسها إلى مبدإ معلوم ويسمى أيضاً النظام التحليلي وهو المستعمل في علم الجبر والمقابلة
16. التركيب هو التقدم شيئاً فشيئاً من مبدإ معلوم إلى النتيجة ويسمى أيضاً النظام التركيبي وهو المستعمل في علم الهندسة
17. العلامات المستعملة في هذا الكتاب قد تقدم شرحها في كتاب علم الجبر والمقابلة فعليك بالمراجعة

1. النقطة شيءٌ لهُ وضع فقط وليس لهُ طول ولا عرض ولا عمق
2. الخط طولٌ بدون عرض أو عمق
   فرعٌ: نهايتا خطٍ نقطتان وموضع تقاطع خطَّين نقطة
3. خطَّان لا يتوافقان في نقطتين منهما بدون أن يتوافقا بالكليَّة يسميان مستقيمين. وقيل أيضاً الخط المستقيم هو البعد الاقرب بين نقطتين
   فرعٌ: خطان مستقيمان لا يحيطان بمساحة ولا يتطابقان في جزء منهما بدون أن يتواقفا بالكليَّة يُسمَّيان مستقيمين. وقيل ايضاً الخط المستقيم هو البعد الاقرب بين نقطتين
   فرعٌ: خطان مستقيمان لا يحيطان بمساحةٍ ولا يتطابقان في جزء منهما أن يتطابقا بالكلّية
4. السطح أو البسيط ما كان لهُ طول وعرض بدون عمق فرعُ. نهايات سطحٍ خطوطٌ. وموضع تقاطع سطحين خطٌ
5. السطح المستوي هو سطحٌ إذا فُرِضَت فيهِ نقطتان فالخط المستقيم الموصل بينهما يقع جميعه في ذلك السطح
6. الزاوية المستقيمة البسيطة هي انفراج خطَّين مستقيمين التقيا بنقطةٍ وليسا على استقامةٍ واحدةٍ
   تنبيه: متى التقت زاويتان فأكثر في نقطة واحدةٍ كما يرى عند ب فكل واحدة منها تتعين بثلاثة احرفٍ اوسطها عند رأس الزاوية. فالزاوية الواقعة بين خط ا ب وخط د ب تسمى زاوية ا ب د أو د ب ا والواقعة بين د ب و س ب تسمى د ب س أو س ب د وأما الزاوية المفردة فيدَلُّ عليها بحرف واحد كازاوية عند ي
7. إذا قام خطٌ مستقيم على آخر مستقيم واحدث زاويتين متساويتين على جانبيهِ فالخط القائم يسمى عموداً وكل زاويةٍ منهما قائمة
8. الزاوية المنفرجة هي كل زاوية أكبر من قائمة
9. الزاوية الحادَّة هي كل زاوية أصغر من قائمة
10. الشكل هيةٌ محدودة. ومساحة الشكل هي الفسيحة المنحصرة في حدوده بدون نظر إلى ماهيّة تلك الحدود
11. الدائرة شكل مستو يحيط بهِ خط واحد ويسمى المحيط. وفي وسطهِ نقطةٌ جميع الخطوط المستقيمة الخارجة منها إلى المحيط متساوية
12. النقطة المشار إليها تسمى مركز الدائرة
13. قُطْرُ الدائرة خط مستقيم مارٌّ بمركزها ونهايتاه في محيطها
14. نصف الدائرة هو الشكل المحاط بالقطر والجزء من المحيط المقطوع بالقطر
15. الاشكال المستقيمة الاضلاع هي المحدودة بخطوط مستقيمة
16. المثلث شكل يحيط به ثلاثة خطوط
    تنبيه: المثلث المستوى هو ما أحـاط بهِ ثلاثة خطوط مستقيمة والكروي ما أحـاط بهِ ثلاثة خطوط منحنية
17. ذو الأربعة الأضلاع شكل احـاط بهِ أكثر من أربعة خطوط مستقيمة
18. الشكل الكثير الأضلاع ما احاط بهِ أكثر من أربعة خطوط مستقيمة
19. المثلث المتساوي الأضلاع هو ما كانت أضلاعة الثلاثة متساوية
20. المثلث المتساوي الساقين هو ما كان ضلعان من أضلاعهِ الثلاثة متساويين
21. المثلث المختلف الأضلاع هو ما كانت أضلاعه الثلاثة غير متساوية
22. المثلث القائم الزاوية هو ما كانت أحدى زواياه قائمة
23. المثلث المتفرج الزاوية هو ما كانت أحدى زواياه منفرجة
24. المثلث الحاد الزاوية هو ما كانت زواياهُ الثلاث حادًّة
25. المربع شكل يحيط بهِ أربعة خطوط مستقيمة متساوية وكل زواياهُ قائمة
26. المستطيل هو ما كانت كل زواياهُ قائمة ولكن ليس كل أضلاعه متساوية
27. المعيّن ما كانت أضلاعه متساوية ولكن ليست فيهِ قائمة
28. الشبيه بالمعين ما كان ضلعاه المتقابلان متساويين وليست فيهِ قائمة وأضلاعهُ الأربعة ليست متساوية
29. كل ذي أربعة أضلاع غير ما ذكر يسمى منحرفاً
30. الخطوط المستقيمة المتوازية هي الواقعة في سطح واحد مستوٍ ولا تلتقي ولو أخرجت في جهتيها إلى غير نهاية

1. يمكن أن يوصل بين كل نقطتين بخط مستقيم أو غير مستقيم
2. يمكن أن يخُرَج خطٌ مستقيم محدود على استقامتهِ في جهتيهِ إلى حدّ ما يُراد
3. يمكن أن تُرسَم دائرةٌ على أي مركزٍ فُرِض وعلى أي بُعدٍ فُرِض منهُ

1. الأشياء المساوية لشيءٍ واحدٍ هي متساوية بعضها لبعض
2. إذا أضِيفَتْ أشياء متساوية إلى أشياء متساوية تكون المجموعات متساوية
3. إذا طُرِحَت أشياء متساوية من أشياء متساوية تكون البقايا متساوية
4. إذا أضِيفَتْ أشياء متساوية إلى أشياء غير متساوية تكون المجموعات غير متساوية
5. إذا طُرِحَت أشياء متساوية من أشياء غير متساوية تكون البقايا غير متساوية
6. الاشياء التي هي مضاعف شيء واحدٍ هي متساوية
7. الاشياء التي تعدل نصف شيء واحدٍ هي متساوية
8. المقادير المتطابقة أي التي تملا مساحة واحدة هي متساوية
9. الكل أعظم من جزءه
10. جميع الزوايا القائمة متساوية
11. إذا تقاطع خطًّان مستقيمان لا يكونان موازيين لخطٍ آخر مستقيم

علينا أن نرسم مثلثاً متساوي الأضلاع على خطٍّ مستقيم محدود مفروض

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض فعلينا أن نرسم عليه مثلثاً متساوي الأضلاع. أجعل ا مركزاً و ا ب بعداً وارسم دائرة ب س د ثم أجعل ب مركزاً و ب ا بُعداً وارسم دائرة ا س ر (حسب ثالثة الممكنات) ثم من س أي نقطة تقاطع الدائرتين ارسم خطًّاً إلى ا وآخر إلى ب (حسب اولى الممكنات) فيكون ا ب س مثلثاً متساوي الأضلاع فالنقطة ا هي مركز الدائرة ب س د ولذلك ب ا يعدل ب س وقد تبرهن أن ا س يعدل ا ب والاشياء المساوية لشيء واحدٍ هي متساوية بعضها لبعض (أوليَّة اولى) فلذلك ب س يعدل ا س فالخطوط الثلاثة ا ب ا س ب س هي متساوية فيكون ا ب س مثلثاً متساوي الأضلاع وقد رسم على ا ب وذلك ما كان علينا أن نعمله

علينا أن نرسم من نقطة مفروضة خطّاً مستقيماً يعدل خطّاً أخر مستقيماً مفروضاً

لتكن ا النقطة المفروضة و ب س الخط المستقيم المفروض فعلينا أن نرسم من ا خطّاً يعدل ب س. من النقطة المفروضة ا ارسم الخط ا ب (أولي المقتضيات) وارسم على ا ب مثلثاً متساوي الأضلاع ا ب د (حسب ق ا ك ا) ثم أخرج د ب إلى ق و د ا إلى ي (حسب ثانية المقتضيات) ثم اجعل ب مركزاً و ب س بعداً وارسم دائرة س غ ح (حسب ثالثة المقتضيات) وأجعل د مركزاً و د غ بعداً وارسم دائرة غ ل ك فالخط ا ل يعدل الخط س

النقطة ب هي مركز الدائرة غ س ح ولذلك ب س يعدل ب غ (حد 11) والنقطة د هي مركز الدائرة غ ك ل ولذلك الخط د ل يعدل د غ والجزء د ا يعدل الجزء د ب فالبقية ا ل تعدل البقية ب غ (اولية ثالثة) وقد تبرهن أن ب س يعدل ب غ والاشياء المساوية لشيء واحد هي متساوية بعضها لبعض فالخط ا ل يعدل الخط ب س وقد رُسم من ا النقطة المفروضة وذلك ما كان علينا أن نعملهُ

علينا أن نقطع من ا طول خطَّين مستقيمين مفروضين جزءاً يعدل أقصرهما

ليكن ا ب اطول الخطًّين المفروضين و س أقصرهما. فعلينا أن نقطع من ا ب جزءاً يعدل (حسب ق 2 ك 1) ثم اجعل ا مركزاً و ا ت بعداً وارسم دائرة ت ي ف (ثالثة المقتضيات) فالجزءُ أي يعدل ا ت (حد 11) و ا ت يعدل س فلذلك أي يعدل س (اولية اولى) وقد قطع من ا ب أطول الخطًّين المفروضين وذلك ما كان علينا أن نعملهُ

إذا عدل ضلعا مثلثٍ ضلعَي مثلثٍ آخر والزاوية الواقعة بين ضلعي أحدهما عدلت الواقعة بين ضلعي الآخر فالضلع الثالث من الواحد يعدل الثالث من الاخر ويكون المثلثان متساويين والزاويتان الاخريان من الواحد تعدلان الاخريين من الآخر

ليكن ا ب س د ي ف مثلثين. والضلعان ا ب ا س من الواحد يعدلان د ي د ف من الاخر كل واحد يعدل نظيرهُ والزاوية ب ا س تعدل الزاوية ي د ف فحينئذ القاعدة ب س تعدل القاعدة المثلث ي ف. والمثلث ا ب س يعدل المثلث د ي ف. وبقية الزاويا أيضاً متساوية أي التي تقابلها الاضلاع المتساوية كل واحدة تعدل نظيرها. أي ا ب س تعدل د ي ف. و ا س تعدل د ف ي

لانهُ إذا وُضع المثلث ا ب س على المثلث د ي ف حتى تقع النقطة ا على النقطة د والخط ا ب على الخط د ي فالنقطة ب تقع على النقطة ي لان ا ب يعدل د ي. وإذا وقع ا ب على د ي فحينذٍ ا س يقع د ف لان الزاوية ب ا س تعدل الزاوية ي د ف والنقطة س تقع على النقطة ف لان ا س يعدل د ف. وقد تبرهن ان النقطة ب تقع على النقطة ي فالقاعدة ب س تقع على القاعدة ي ف وتعدلها (فرع حد 3) وكذلك كل المثلث ا ب س يقع على كل المثلث د ي ف ويكونان متساويين. والزاويتان الاخريان من الواحد تقع على الاخريين من الاخر. وكل واحدة تعدل نظيرها أي ا ب س تعدل د ي ف و ا س ب تعدل د ف ي. وذلك ما كان علينا أن نبرهنهُ

في كل مثلث متساوي الساقين الزاويتان عند القاعدة متساويتان. وإذا أخرج الضلعان المتساويان فالزاويتان الحادثتان على الجانب الآخر من القاعدة متساويتان أيضاً

ليكن ا ب س مثلثاً متساوي الساقين اي الساق ا ب يعدل الساق ا س. وليخرج الضلع ا ب الى د والضلع ا س الى ي. فالزاوية ا ب س تعدل الزاوية ا س ب والزاوية س ب تعادل الزاوية ب س ي

عين أي نقطة شئت في ب د كالنقطة ق مثلاً. ومن اى اطول خطين اقطع ا غ حتى يعدل ا ق اقصرهما (حسب ق 3 ك 1) وارسم الخطَّ ق س والخط غ ب. فالخط ا ق يعدل ا غ وكذلك ا ب يعدل ا س. فالخطان ق ا ا س يعدلان غ ا ا ب وبينهما الزاوية ق ا غ المشتركة بين المثلثين ا ق س ا غ ب فالقاعدة ق س تعدل القاعدة غ ب (حسب ق 4 ك 1) والمثلث ا ق س يعدل المثلث ا غ ب فبقية الزوايا من الواحد تعدل نظيرها اي التي تحاذيها الأضلاع المتساوية اي الزاوية ا س ق تعدل ا ب غ والزاوية ا ق س تعدل ا غ ب. وقد تقدم ان ا ق يعدل ا غ وان ا ب يعدل ا س فالبقية ب ق تعدل البقية س غ (اولية ثالثة) وقد تبرهن ان ق س يعدل غ ب فالضلعان ب ق ق س يعدلان الضلعين س غ غ ب ونبرهن ان الزاوية ب ق س تعدل الزاوية س غ ب فالمثلث ب ق س يعدل المثلث س غ ب (ق 4 ك 1) وبقية الزوايا من الواحد تعدل بقية الزوايا من الاخر اي التي تقابلها الأضلاع المتساوية اي الزاوية ق ب س تعدل الزاوية غ س ب والزاوية ب س ق تعدل الزاوية س ب غ وقد تبرهن ان كل الزاوية ا س ق تعدل الكل ا ب غ وان الجزء ب س ق يعدل الجزء س ب غ فالبقية ا س ب تعدل البقية ا ب س وهما الزاويتان عند قاعدة المثلث ا ب س وقد تبرهن ان الزاوية ق ب س تعدل غ س ب وهما الزاويتان على الجانب الاخر من القاعدة. وذلك ما كان علينا ان نبرهنه

فرع. إذ ذاك يكون كل مثلث متساوي الاضلاع متساوي الزوايا أيضاً

إذا كانت زاويتان من مثلثٍ متساويتين فالضلعان اللذان يقابلانها هما متساويان أيضاً

ليكن ا ب س مثلثاً لهُ زاويتان ا ب س ا س ب متساويتان فضلعاهُ ا ب ا س هما متساويان أيضاً

وإلا فاحدهما أطول من الاخر. فلنفرض ا ب أطولهما ولنقطع منهُ جزءاً د ب يعدل ا س أقصرهما (ق 3 ك 1) فلنا في المثلثين د ب س ا ب س ضلعٌ من الوّاحد د ب يعدل ضلعاً من الآخر ا س والقاعدة ب س مشتركة بينهما فالضلعان د ب ب س يعدلان ا س س ب كل واحدٍ نظيرَهُ. والزاوية د ب س تعدل ا س ب فالقاعدة د س تعدل القاعدة ا ب والمثلث د ب س يعدل المثلث ا ب س (ق 4 ك ا) أي الأصغر يعدل الأكبر وذلك محال فلا يمكن ان يكون ا ب ا س غير متساويين بل هما متساويان. وذلك ما كان علينا أن نبرهنه

فرعٌ. كل مثلث متساوي الزوايا هو متساوي الاضلاع أيضاً

لا يكون على قاعدة واحدة وعلى جانب واحد منها مثلثان الضلعان منهما المنتهيان في طرف واحد من القاعدة متساويان والمنتهيان في طرفها الآخر متساويان أيضاً

ليكن ا س ب ا د ب مثلثين على قاعدة واحدة ا ب وعلى جانب واحد منهما والضلعان ا س ا د المنتهيان في ا متساويان فالمنهيان في ب الطرف الآخر من القاعدة لا يكونان متساويين

ارسم الخطّ س د (حسب اولى الممكنات) فإذا كان ب س ب د متساويين وكان رأس احد المثلثين خارج الاخر فلنا ا س ا د متساويان فالزاوية ا س د تعدل الزاوية ا د س (حسب ق 5 ك 1) والزاوية ا س د انما هي أكبر من الزاوية ب س د فالزاوية ا د س أيضاً أكبر من ب س د وبالاحرى الزاوية ب د س أكبر من ب س د وعلى ما فُرِض ان س ب يعدل د ب فالزاوية ب د س تعدل ب س د (ق 5 ك 1) وقد تبرهن انها أكبر ب س د

ثم إذا وقع رأس احد المثلثين مثل د داخل الاخر ا س ب. فاخرج ا س إلى ي واخرج ا د إلى ق فيما ان ا س ا د متساويان فالزاويتان ي س د ق د س على الجانب الاخر من القاعدة س د هما متساويتان (ق 6 ك 1) والزاوية ي س د إنما هي أكبر من الزاوية ب س فالزاوية ق د س أيضاً أكبر من ب س د وبالاحرى ب د س أكبر من ب س د وإذا كان ب د ب س متساويين فالزاوية ب د س تعدل الزاوية ب س د (ق 5 ك 1) وقد تبرهن ان ب د س أكبر من ب س د وذاك محال. وهكذا إذا وقع رأس أحد المثلثين بجانب الاخر فلا يمكن أن يكون على قاعدة واحدة وعلى جانب واحد منها مثلثان الضلعان منهما المنتهيان إلى طرف واحد من القاعدة متساوين والمنتهيان إلى طرفها الاخر متساويان أيضاً

إذا عدل ضلعا مثلثٍ ضلعي مثلثٍ آخر وكانت القاعدتان متساويتين أيضاً فالزاوية الحادثة بين ضلعي الواحد تعدل الحادثة بين ضلعي الاخر

ليكن ا ب س ف مثلثين والضلعان ا ب ا س يعدلان د ي د ف كل واحد يعدل نظيره. والقاعدة ب س تعدل القاعدة ي ف فالزاوية ب ا س تعدل الزاوية ي د ف

لانه إذا وضع المثلث ا ب س على المثلث د ي ف حتى تقع النقطة ي والخط ب س على الخط ي ف فالنقطة س تقع على النقطة ف لان الخط ب س يعدل ي ف وإذ ذاك فالخط ب ا يقع على الخط ي د والخط ا س يقع على د ف وإلا فلنفرض وقوعها على ي ر ر ف فعندها ذلك يكون على قاعدة واحدة وعلى جانب واحد منها مثلثان الضلعان منهما المنتهيان في طرف واحد من القاعدة متساويان والمنتهيان في طرفها الاخر متساويان أيضاً وذلك لا يمكن (ق 7 ك 1) فإذا طبق ب س على ي ف فالخطان ب ا ا س يطبقان على ي د د ف والزاوية ب ا س تطبق على الزاوية ي د ف وتعدلها (اولية 8) وذلك ما كان علينا أن نبرهنه

علينا أن ننصف زاوية بسيطة مستقيمة مفروضة أي أن نقسمها إلى قسمين متساويين

ليكن ب ا س الزاوية المفروض ان ننصفها عيّن أيَّة نقطة شئت في الخط ا ب كالنقطة د من ا س أطول خطَّين اقطع جزاء ي حتى يعدل ا د اقصرهما (ق 3 ك 1) ارسم الخطَّ د ي وابنِ عليهِ مثلثاً متساوي الاضلاع د ق ي (ق 1 ك 1) وارسم الخط ا ق فهو ينصَّف الزاوية ب ا س

لان الخط ا د يعدل الخط ا ي والخط ا ق مشترك بين المثلثين د ا ق ي ا ق فالضلعان د ا ا ق يعدلان الضلعين ي ا ا ق كل واحد يعدل نظيرهُ. والقاعدة د ق تعدل القاعدة ق ي فالزاوية د ا ق تعدل الزاوية ي ا ق (ق 8 ك 1) فقد تنصف الزاوية ب ا س بالخط ا ق المستقيم وذلك ما كان علينا أن نعمله

تعليقة. على هذه الكيفية تنصف كلا النصفين ذ ا ي ا ق وعلى هذا النسق يقسم زاوية مفروضة إلى أربعة أو ثمانية أجزاء أو إلى ستة عشر جزاءً متساوية وهلمَّ جرَّا

علينا أن ننصف خطَّاً مستقيماً محدوداً مفروضاً أي ان نقسمه إلى قسمين متساويين

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض علينا أن ننصفه

أرسم على الخط ا ب مثلثاً متساوي الأضلاع ا س ب (ق 1 ك 1) ونصف الزاوية ا س ب بالخط المستقيم س د (ع 9 ك 1) فالخط ا ب قد انتصف في النقطة د

فلأن الخط ا س يعدل س ب والخط س د مشترك بين المثلثين ا س د ب س د فالضلعان ا س س د يعدلان الضلعين ب س س د والزاوية ا س د تعدل الزاوية ب س د فلذلك القاعدة ا د تعدل القاعدة ب د (ق 4 ك 1) فقد انتصف الخط ا ب في النقطة د وذلك ما كان علينا أن نعملهُ

علينا أن نرسم من نقطة مفروضة في خط مستقيم محدود مفروض خطاً مستقيماً يحدث مع الأول زاويتين قائمتين

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض و س النقطة المفروضة فيهِ. فعلينا أن نرسم من النقطة س خطاً مستقيماً يحدث مع ا ب قائمتين

عين أية نقطة شيئت في ا س كالنقطة د مثلاً ومن س ب اقطع جزاء س ي حتى يعدل س د (ق 3 ك 1) وعلى د ي ابنِ مثلثاً متساوي الاضلاع (ق 1 ك 1) د ق ي ثم ارسم الخط ق س فهو يحدث مع ا ب قائمتين

فلأنَّ د س يعدل ي س والخط ق س هو مشترك بين المثلثين د س ق ي س ق فالضلعان د س س ق يعدلان الضلعين ي س س ق كل واحد يعدل نظيره. والقاعدة د ق تعدل القاعدة ي ق فالزاوية د س ق تعدل الزاوية ي س ق (ق 8 ك 1) وهما متواليتان. وإذا قام خط مستقيم على آخر مستقيم وجعل الزاويتين المتواليتين متساويتين فكل واحدة منهما قائمة (حد 7) فكل واحدة من د س ق ي س ق قائمة. فقد رُسِمَ من النقطة المفروضة س خطٌ ق س وهو يحدث مع ا ب قائمتين وذلك ما كان علينا أن نعملهُ

علينا أن نرسم خطاً عمودياً على خط مستقيم مفروض غير محدود وذلك من نقطة مفروضة خارج ذلك الخط

ليكن ا ب خطَّاً مستقيماً يمكن اخراجه إلى جهتيهِ إلى غير نهاية. ولتكن س نقطةً خارجهُ فعلينا أن نرسم من س خطاً عمودياً على ا ب

عَيِّنْ أية نقطة شيئت على الجانب الاخر من ا ب مثل د ثم اجعل س مركزاً و س د بعداً وارسم الدائرة ي غ ق (ثالثة الممكنات) التي تقطع ا ب في النقطتين غ و ق. نصف ق غ في ح (ق 10 ك 1) ثم ارسم س ح فهو عمودي عل ا ب. ارسم س ق س غ ولان ق ح يعدل ح غ والخط س ح مشترك بين المثلثين ق ح س غ ح س فالضلعان ق ح ح س يعدلان الضلعين غ ح ح س كل واحد يعدل نظيره. والقاعدة س ق تعدل القاعدة س غ (حد 11) فالزاوية ق ح س تعدل الزاوية غ ح س (ق 8 ك 1) وهما متواليتان. فالخط س ح عمودي على ا ب (حد 7) وقد رُسِم من النقطة المفروضة س وذلك ما كان علينا أن نعملهُ

الزاويتان الحادثتان من وقوع خط مستقيم على آخر مستقيم على جانب واحد منه هما قائمتان أو تعدلان قائمتين

ليقع الخط المستقيم ا ب على الخط المستقيم د س حتى تحدث الزاويتان ا ب د ا ب س فهما قائمتان أو تعدلان قائمتين فإذا كان ا ب د ا ب س متساويتين فهما قائمتان (حد 7) وإلا فمن النقطة ب ارسم الخط ب ي عمودياً على د س (ق 11 ك 1) فالزاويتان ي ب د ي ب س قائمتان والزاوية س ب ي تعدل س ب ا مع اب ي اضف إلى كل واحدة منهما ا ب س فالزاويتان د ب ا ب س تعدلان الثلاث د ب ي ي ب ا ا ب س وقد تبرهن أن د ب ي س ب ي تعدل هذه الثلاث زوايا أيضاً. والأشياء المساوية لشيء واحد هي متساوية بعضها لبعض (اولية 1) أي الزاويتان س ب ي د ب ي تعدلان الزاويتين د ب ا ا ب س ولكن س ب ي ي ب د هما قائمتان فالزاويتان د ب ا ا ب س تعدلان قائمتين

فرعٌ. مجتمع جميع الزاويا الحادثة على جانب واحد من د س يعدل قائمتين لانه يعدل مجتمع د ب ا ا ب س

إذا وقع خطان مستقيمان على نقطة واحدة من خطٍّ اخر مستقيم عن جانبيهِ واحدثا زاويتين متواليتين تعدلان قائمتين فالخطان على استقامة واحدة كأنها خط واحد

ليقع خطان س ب د ب على النقطة ب من الخط ا ب من جانبيه وليحدثا زاويتين متواليتين تعادلان قائمتين ا ب س ا ب د فالخطان س ب ب د على استقامة واحدة كانهما خط واحد

وإلا فارسم ب ي حتى يكون س ب ب ي على استقامة واحدة فالخط المستقيم ا ب الواقع على خط اخر مستقيم س ي على جانب واحد منه يحدث زاويتين ا ب س ا ب ي تعادلان قائمتين (ق 13 ك 1) ولكن قد فُرِض ان ا ب س ا ب د تعادلان قائمتين فالزاويتان ا ب س ا ب ي تعدلان ا ب س ا ب د أطرح الزاوية المشتركة ا ب س فالباقية ا ب ي تعدل الباقية ا ب د (اولية 3) أي الجزء يعدل الكل وذاك محال فلا يمكن أن يكون س ب ب ي على استقامة واحدة. وهكذا في كل خط غير ب د فالخطان س ب ب د المحدثان مع ا ب زاويتين تعدلان قائمتين هما على استقامة واحدة وذلك ما كان علينا أن نبرهنه

إذا تقاطع خطَّان مستقيمان فالزوايا المتقابلة متساوية

ليكن ا ب خطَّا مستقيماً فالزاوية س ي ا تعدل ا ي د

لانّ الزاويتين س ي ا ا ي د الحادثتين من وقوع على س د تعدلان قائمتين (ق 13 ك 1) وأي د د ي ب الحادثتان من وقوع د ي على ا ب أيضاً تعدلان قائمتين (ق 13 ك 1) فالزاويتان س ي ا ا ي د تعدلان ا ي د د ي ب اطرح المشتركة ا ي د فالباقية س ي ا تعدل الباقية د ي ب (اولية 3) وهكذا أيضاً يبرهن ان س ي ب تعدل ا ي د

فرع اوّلٌ. يتضح من هذه القضية ان مجتمع جميع الزوايا الحادثة من تقاطع خطَّين مستقيمين يعدل اربع زوايا قائمة

فرعُ ثانٍ. مجتمع الزوايا الحادثة من تقاطع خطوط مستقيمة في نقطة واحدة يعدل أربع زوايا قائمة

إذا اخرِجَ ضلع من مثلث فالزاوية الخارجة الحادثة من ذلك هي اكبر من احدي الداخلتين المتقابلتين

ليكن ق ب س مثلثاً وليخرج الضلع ب س إلى د فالزاوية الخارجة ق س د هي اكبر من احدى الداخلتين المتقابتين س ب ق ب ق س

نصّف ق س في ي (ق 2 ك 1) ارسم ا س واخرج ق س إلى غ

فلان ق ي يعدل ى س و ب ي يعدل ي ا فالخطَّان ق ي ي ب يعدلان ا ي ي س كل واحد يعدل نظيره. والزاوية ق ي ب تعدل ا ي س (ق 15 ك 1) فالقاعدة ق ب تعدل القاعدة ا س (ق 4 ك 1) والمثلث ق ي ب يعدل المثلث ا ي س وبقية الزوايا من الواحد تعدل بقية الزاوية ي س ا والزاوية ي س د أو ق س د هي اكبر من ي س ا فهي إيضاً اكبر من ب ق ي أو ب ق س وعلى هذا النسق إذا نُصِّف ب س يبرهن أن الزواية ب س غ أو ق س د (ق 15 ك 1) هي أكبر من ق ب س

زاويتان من مثلث هما معاً أصغر من قائمتين

ليكن ا ب س مثلثاً فزاويتان منه معاً أصغر من قائمتين

اخرج ب س إلى د فالزاوية الخارجة ا س د هي أكبر من الداخلة ا ب س (ق 16 ك 1) أضف إلى كل واحدة منهما ا س ب فالزاويتان ا س د ا س ب معاً أكبر من ا ب س ا س ب معاً ولكن ا س ب معاً أصغر من قائمتين. وعلى هذا الاسلوب يبرهن ان ب ا س ا س ب معاً و س ا ب ا ب س معاً أصغر من قائمتين

الضلع الاطول من كل مثلث تقابلهُ الزاوية الكبرى

ليكن ا ب س مثلثاً وليكن الضلع ا ب س أكبر من الضلع ا ب فتكون الزاوية ا ب س أكبر من الزواية ب س ا

من ا س أقطع ا د حتى يعدل ا ب (ق 3 ك 1) وارسم ب د ففي المثلث د ب س الزاوية الخارجة ا د ب هي أكبر من الداخلة د س ب ولكن ا د ب تعدل (ق 5 ك 1) فالزاوية ا ب د أيضاً أكبر من د س ب وبالاحرى ا ب س أكبر من د س ب أي ا س ب

الزاوية الكبري من كل مثلث يقابلها الضلع الاطول

ليكن ا ب س مثلثاً ولتكن الزاوية ا ب س أكبر من ا س ب فيكون الضلع ا س اطول من ا ب وإلا فالضلع ا س يعدل ا ب أو هو أقصر منه ولا يمكن ان يعدل ا ب لانه عند ذلك كانت الزاويتان ا س ب ا ب س متساويتين (ق 5 ك 1) وقد فرض ان ا ب س أكبر من ا س ب ولو كان أقصر لكانت ا ب س ب (ق 18 ك 1) فبالضرورة يكون ا س أطول من ا ب

ضلعان من مثلث هما معاً أطول من ضلعهِ الثالث

ليكن ا ب س مثلثاً فضلعان منه معاً أطول من ضلعه الثالث. أي الضلعيان ب ا ا س معاً أطول من ب س و ا ب ب س معاً أطول من ا س و ب س س ا معاً أطول من ا ب

أخرج ب ا إلى د واجعل ا د يعدل ا س (ق 2 ك 1) وارسم د س فيما أكبر من ا س د فهي أيضاً أكبر من ا د س فيكون الضلع ب د أطول من ب س (ق 19 ك 1) ولكن ب د يعدل ب ا مع ا س فالضلعان ب ا ا س معاً هما أطول من ب س وهكذا في كل ضلعين من المثلث

تعليقة. يبرهن ذلك بدون أخراج ضلعٍ من المثلث لان ب س هو البعد الاقرب بين النقطة ب والنقطة س فيكون ب س أقصر من ب ا ا س أي ب ا ا س معاً أطول من ب س

إذا رُسِمَ من طرفَي ضلع مثلث خطان مستقيمان إلى نقطة داخل المثلث فهما أقصر من ضلعَي المثلث الآخرين ولكن يحيطان بزاوية أكبر من التي بين الآخرين

ليكن ا ب س مثلثاً. وليرسم من طرفي ب س خطان إلى النقطة د داخل المثلث مثل ب د س د فهما أقصر من ب ا ا س ولكن الزاوية ب د س هي أكبر من ب ا س. أخرج ب د إلى ي. فالضلعان ب ا أي معاً من المثلث ب ا ي هما أطول من ب ي (ق 20 ك 1) أضف لهما ي س فالضلعان ب ا ا س أطول من ب ي ي س وفي المثلث س ي د الضلعان س ي ي د هما أطول من س د. أضف لهما د ب فالضلعان س ي ي ب معاً أطول من س د د ب. وقد تبرهن أن ب ا ا س هما معاً أطول من ب ي ي س فالبلاحرى ب ا ا س أطول من ب د د س ثم الزاوية الخارجة ب د س من المثلث س د ي هي أكبر من الداخلة س ي د (ق 16 ك 1) ولذات هذا السبب س ي د هي أكبر من ي ا ب أو س ا ب وقد تبرهن أن س د ب هي أكبر من س ي ب فبالاحرى هي أكبر من س ا ب

علينا أن نرسم مثلثاً اضلاعهُ تعدل ثلاثة خطوط مستقيمة مفروضة وكل اثنين منها معاً أطول من الثالث

ليكن ا و ب و س الخطوط المستقيمة المفروضة كل اثنين منها معاً أطول من الثالث. فعلينا أن نرسم مثلثاً أضلاعه تعدل هذه الخطوط الثلاثة

خذ خطًّا مستقيماً ينتهي في نقطة د وغير محدود من جهة ي واقطع منه د ق حتى يعدل ا (ق 3 ك 1) و ق غ حتى يعدل ب و غ ح حتى يعدل س ثم أجعل ق مركزاً و ق د بعداً (ثالثة الممكنات) وارسم دائرة د ك ل واجعل غ مركزاً و غ ح بعداً وارسم دائرة ك ح ل (ثالثة الممكنات) ومن ك أي نقطة تقاطع الدائرتين ارسم ك ق ك غ فالمثلث ق ك غ هو المطلوب وأضلاعه تعدل الخطوط الثلاثة المفروضة ا و ب و س. فقد جعلنا ق غ حتى يعدل ب ومن حيث أن النقطة ق هي مركز الدائرة د ك ل فالخط ق ك يعدل ق د (حد 11) ولكن ق د يعدل فالخط ق ك يعدل ا أيضاً. ومن حيث ان النقطة غ هي مركز الدائرة ك ح ل فالخط غ ح يعدل غ ك (حد 11) ولكن غ ح يعدل س ولذلك غ ك يعدل س أيضاً فقد رُسِم مثلث أضلاعه تعدل ثلاثة خطوط مستقيمة مفروضة

تعليقة. لو كان أحد الأضلاع أطول من مجتمع الآخرين لما تقاطعت الدائرتان والقضية صحيحة كل ما كان مجتمع ضلعين أطول من الثالث

علينا أن نرسم من نقطة مفروضة في خط مستقيم مفروض زاوية مستقيمة بسيطة حتى تعدل زاوية اخرى مسقيمة بسيطة مفروضة

ليكن ا س الخط المستقيم المفروض و ا النقطة المفروضة منه و د س ي الزاوية البسيطة المفروضة فعلينا أن نرسم من النقطة ا زاوية بسيطة تعدل د س ي. في س د عيّن أية نقطةٍ شئت مثل د. كذلك عين ي في س ي. أرسم د ي وارسم المثلث ا ق غ حتي يعدل المثلث س د ي (ق 22 ك 1) أي الضلع ا ق يعدل س د والضلع ا غ يعدل س ي والضلع ق غ يعدل د ي فبما أن الضلعين ق ا ا غ يعدلان د س س ي والقاعدة ق غ تعدل القاعدة د ي فالزاوية ق ا غ تعدل الزاوية د س ي (ق 8 ك 1) وقد رُسِمت من النقطة ا في الخط المفروض ا س

في مثلثين إذا عدل ضلعان من الواحد ضلعَين من الاخر وكانت الزاوية الحادثة بين ضلعَي الاول أكبر من الحادثة بين ضلعَي الاخر فالذي لهُ الزاوية الكبري لهُ أيضاً القاعدة الطولي

ليكن ا ب س د ي ف مثلثين ولنفرض أن الضلع ا ب يعدل د ي والضلع ا س يعدل د ف ولكن الزاوية ب ا س أكبر من ي د ف فتكون القاعدة ب س أطول من القاعدة ي ف

ليكن د ف أطول من د ي ومن النقطة د أرسم الزاوية ي د غ حتى تعدل ب ا س (ق 23 ك 1) واجعل د غ حتى يعدل ا س أو د ف أرسم ي غ ف غ

فمن حيث أن ا ب يعدل القاعدة ي غ (ق 4 ك 1) ومن حيث أن د ف يعدل د غ فالزاوية د ف غ تعدل د غ ف (ق 5 ك 1) ولكن الزاوية د غ ف هي أكبر من ي غ ف فتكون د ف غ أيضاً أكبر من ي غ ف فكم بالاحرى تكون ي غ ف أكبر من ي غ ف وفي المثلث ي غ ف فمن حيث أن الزاوية ي ف غ هي أكبر من ي غ ف فيكون الضلع ي غ أطول من ي ف (ق 19 ك 1) ولكن ي غ يعدل ب س فالقاعدة ب س أطول من القاعدة ي ف

إذا عدل ضلعا مثلثٍ ضلعَي مثلثٍ آخر ولكن كانت قاعدة احدهما أطول من قاعدة الآخر فالزاوية الكبرى هي لذي القاعدة الطولى

ليكن ا ب س د ي ف مثلثين ولنفرض أن ضلعين من الواحد ا ب ا س عدلا ضلعين من الاخر د ي د ف ولكن القاعدة ب س أطول من القاعدة ي ف فتكون الزاوية ب ا س أكبر من الزاوية ي د ف وإلاَّ فإما أن تعدلها أو تكون أصغر منها فالزاوية ب ا س لا تعدل ي د ف لانه عند ذلك كانت القاعدة ب س تعدل القاعدة ي ف (ق 4 ك 1) وقد فرض ب س الأكبر ولا يمكن أن تكون أصغر منها لانه عند ذلك كانت القاعدة ب س أصغر من ي ف (ق 24 ك 1) وقد فرض ب س أكبر وقد تبرهن أنها لا تعدلها فبالضرورة تكون الزاوية ب ا س أكبر من الزاوية د ف

إذا عدلت زاويتان من مثلثٍ زاويتين من مثلثٍ آخر أي كل واحدة عدلت نظيَرها. وضلعٌ من الواحد عدل ضلعاً من الآخران كانا المتواليين للزوايا المتساوية أو المتقابلَين لها فالضلعان الاخران من الواحد يعدلان الاخرين من الآخر والزاوية الثالثة من الواحد تعدل الثالثة من الآخر

ليكن ا ب س د ي ف مثلثين والزاوية ا ب س فلتعدل د ي ف والزاوية ب س ا فلتعدل ي ف د والضلع ب س فليعدل ي ف وهما المتواليان للزوايا المتساوية فالضلعان الاخران من الواحد ا ب ا س يعدلان الاخرين من الاخر د ي د ف والزاوية الثالثة من الواحد ب ا س تعدل الثالثة من الاخر ي د ف

وان لم يكن ا ب و د ي متساويين فبالضرورة يكون احدهما أطول من الاخر فلنفرض ا ب الاطول ولنفصل منه ب غ حتى يعدل د ي (ق 3 ك 1) ولنرسم غ س فمن حيث ان غ ب يعدل د ي و ب س يعدل ي ف فالضلعان غ ب ب س يعدلان الضلعين د ي ي ف كل واحد يعدل نظيره والزاوية غ ب س تعدل د ي ف فالقاعدة غ س تعدل القاعدة د ف (ق 4 ك 1) والمثلث غ ب س يعدل المثلث د ي ف وبقية الزوايا من الواحد تعدل بقية الزوايا من الاخر كل واحدة تعدل نظيرها أي التي تقابلها الاضلاع المتساوية. فالزاوية غ س ب تعدل ا س ب أي الاصغر يعدل الاكبر وذاك محال فلا يمكن ان يكون ا ب و د ي غير متساويين أي هما متساويان و ب س يعدل ي ف فالضلعان ا ب ب س يعدلانرالضلعين د ي ي ف والزاوية ا ب س تعدل د ي ف فالقاعدة ا س تعدل القاعدة د ف (ق 4 ك 1) والزاوية ب ا س تعدل الزاوية ي د ف

ثم لنفرض مساواة الضلعين اللذين يقابلان الزاويا المتساوية في كلا المثلثين يعني أن ا ب يعدل د ي فعلى د ي فعلى هذا المفروض أيضاً لنا مساواة بقية الاضلاع يعني ا س يعدل د ف و ب س يعدل ي ف والزاوية الثالثة من الواحد ب ا س تعدل الثالثة من الاخر ي د ف فإن لم يكن ب س و ي ف متساويين فليكن ب س أطولهما.

أفصل منه ب ح حتى يعدل ي ف (ق 3 ك 1) وارسم ا ح فمن حيث أن ب ح يعدل ي ف و ا ب يعدل د ي فالضلعان ا ب ب ح يعدلان الضلعين د ي ي ف والزاوية ا ب ح تعدل د ي ف فالقاعدة ا ح تعدل القاعدة د ف (ق 4 ك 1) والمثلث ا ب ح يعدل المثلث د ي ف وبقية الزوايا أيضاً متساوية أي التي تقابلها الاضلاع المتساوية فالزاوية ب ح ا تعدل ي ف د ولكن ي ف د تعدل ب س ا فالزاوية ب س ا تعدل ب ح ا أي الزاوية الخارجة ا ح ب تعدل الداخلة المتقابلة ا س ب وذلك لا يمكن (ق 16 ك 1) فلا يمكن أن يكون ب س و ي ف غير متساويين أي هما متساويان و ا ب يعدل د ي فالضلعان ا ب ب س يعدلان د ي ي ف والزاوية ا ب س تعدل د ي ف فالقاعدة د ف والزاوية الثالثة ب ا س تعدل الثالثة ي د ف

إذا وقع خطٌّ مستقيم على خطين آخرين مستقيمين وجعل الزاويتين المتبادلتين متساويتين فالخطان متوازيان

ليقع الخط المستقيم ي ق على الخطين المستقيمين ا ب س د وليجعل معهما الزاويتين المتبادلتين ا ي ق ي ق د متساويتين فالخطان ا ب س د متوازيان

وإلاَّ فليتقيان إذا أخرجا. فلنفرض التقائهما في النقطة غ ي ق مثلثاً وزاوية الخارجة ا ي ق تكون أكبر من الداخلة المتقابلة ي ق غ (ق 16 ك 1) وقد فرض مساواتها فلا تكون أحداهما أكبر من الاخرى فلا يلتقي ا ب و س د إذا أخرجا إلى جهة ب و د وهكذا يبرهن أنهما لا يلتقيان إذا أخرجا إلى جهة ا و س فهما إذاً متوازيان (حد 30)

إذا وقع خطٌّ مستقيم على خطين مستقيمين واحدث زاويةً خارجةً تعدل الداخلة المتقابلة على جانب واحد منهُ أو داخلتين على جانب واحد منه تعدلان معاً قائمتين فالخطان متوازيان

ليقع الخط المستقيم ي ف على الخطين المسقيمين ا ب س د وليجعل معهما الزاوية الخارجة ي غ ب ان تعدل الداخلة المتقابلة على ذلك الجانب غ ح د أو ليجعل الداخلتين على جانب واحد ب غ ح غ ح د ان تعدلا قائمتين فالخطان ا ب س د متوازيان. فمن حيث أن ي غ ب تعدل غ ح د وتعدل أيضاً ا غ ح (ق 15 ك 1) فالزاوية ا غ ح تعدل غ ح د وهما متبادلتان ولذلك (ق 27 ك 1) ا ب يوازي س د وأيضاً من حيث أن ب غ ح غ ح د تعدلان قائمتين حسب المفروض و ا غ ح ب غ ح تعدلان قائمتين (ق 13 ك 1) فالزاويتان ب غ ح ا غ ح تعدلان ب غ ح غ ح د اطرح المشتركة ب غ ح فالباقية ا غ ح تعدل الباقية غ ح د وهما متبادلتان ولذاك (ق 27 ك 1) ا ب يوازي س د وأيضاً من حيث أن ب غ ح غ ح د تعدلان قائمتين حسب المفروض و ا غ ح ب غ ح تعدلان قائمتين (ق 13 ك 1) فالزاويتان ب غ ح ا غ ح تعدلان ب غ ح غ ح د أطرح المشتركة ب غ ح فالباقية ا غ ح تعدل الباقية غ ح د وهما متبادلتان. ولذلك ا ب و س د متوازيان

فرعٌ. إذا ان كان خطان مستقيمان عموديَّين على خط مستقيم ثالث فهما متوازيان

إذا وقع خطّ مستقيم على خطَّين مستقيمين متوازيين فالزاويتان المتبادلتان الحادثتان متساويتان والزاوية الخارجة تعدل الداخلة المتقابلة على جانب واحد والداخلتان على جانب واحد تعدلان قائمتين

ليقع الخط المستقيم ي ق على المتوازيين ا ب س د فالزاويتان المتبادلتان ا غ ح غ ح د متساويتان والخارجة ي غ ب تعدل الداخلة المتقابلة على ذلك الجانب غ ح د والداخلتان على جانب واحد ب غ ح غ ح د تعدلان قائمتين

فان لم تكن ا غ ح غ ح د متساويتين فليرسم الخط ك غ حتى أن ك غ ح تعدل غ ح د واخرج ك غ إلى ل فالخط ك ل يوازي س د (ق 27 ك 1) و ا ب أيضاً يوازي س د فقد رُسِم خطان مستقيمان ماران بنقطة واحدة غ يوازيان س د من غير ان يتطابقا وذلك محال (اولية 11) فلا تكون الزاويتان ا غ ح غ ح د غير متساويتين أي هما متساويتان. والزاوية ي غ بُ تعدل ا غ ح (ق 15 ك 1) ولذلك ي غ ب أيضاً تعدل غ ح د (أولية أولى) أضف إليها ب غ ح فالزاويتان ي غ ب ب غ ح تعدلان ب غ ح غ ح د ولكن ي غ ب ب غ ح تعدلان قائمتين (ق 13 ك 1) ولذلك ب غ ح غ ح د تعدلان قائمتين أيضاً

فرع أول. إذا جعل الخطان ك ل س د مع ي ق الزاويتين ك غ ح غ ح س معاً أصغر من قائمتين فالخطان ك ل س د مع ي ق الزاويتين ك غ ح غ ح س معاً أصغر من قائمتين فالخطان ك غ س ح يلتقيان على ذلك الجانب من ي ق الذي فيه كانت الزاويتان أصغر من قائمتين

وإلا فهما متوازيان. أو يلتقيان على الجانب الاخر من الخط ي ق ولكنهما غير متوازيين. وإلا لكانت ل غ ح غ ح د زاويتين من زوايا مثلث واصغر من قائمتين وذلك لا يمكن لان الاربع زوايا ك غ ح ح غ ل س ح غ غ ح د تعدل اربع زوايا قائمة (ق 13 ك 1) واثنتان منها أي ك غ ح غ ح س هما بالمفروض أصغر من قائمتين فبالضرورة الاخريان ل غ ح غ ح د أكبر من قائمتين فمن حيث أن ك ل س د غير متوازيين ولا يلتقيان من جهة ل و د فالضرورة يلتقيان إذا أخرجا إلى جهة ك و س

فرعٌ ثان. إذا كان ب غ ح قائمة تكون غ ح د أيضاً قائمة فالخط العمودي على أحد خطين متوازيين هو عمودي على الاخر أيضاً

فرع ثالث. من حيث أن ا غ ي = ب غ ح و د ح ق = س ح غ تكون الاربع الزوايا الحادَّة ا غ ي ب غ ح س ح غ د ح ق متساوية. وهكذا الاربع الزوايا المنفرجة ي غ ب ا غ ح غ ح د س ح ق هي أيضاً متساوية. وإذا اضيفت احدى الحادَّات إلى أحدى المنفرجات فالمجموع يعدل قائمتين

تعليقة. الزاويا المذكورة لها اسماء مختلفة باعتبار بعضها إلى بعض فالزاويتان ب غ ح غ ح د هما الداخلتان على جانب واحد وكذلك ا غ ح غ ح س. والزاويتان ا غ ح غ ح د هما الداخلتان المتبادلتان فقط. وكذلك ب غ ح غ ح س. والزاويتان ي غ ب غ ح د هما الخارجة والداخلة وكذلك ي غ ا غ ح س والزاويتان ي غ ب س ح ق هما الخارجتان المتبادلتان وكذلك ا غ ي د ح ق

الخطوط المستقيمة المتوازية لخطٍ واحدٍ مستقيم هي متوازية بعضها لبعض

ليقع على ا ب ي ف س د الخط المستقيم غ ح فمن حيث أن ا ب ي ف متوازيان فالزاوية ا غ ح تعدل الزاوية غ ح ف (ق 29 ك 1) ومن حيث أن ي ف س د متوازيان فالزاوية غ ح ف تعدل غ ك د (ق 29 ك 1) وقد تبرهن أن ا غ ح تعدل غ ح ف فلذلك ا غ ح تعدل غ ك د أيضاً وهما متبادلتان فالخط ا ب يوازي الخط س د (ق 27 ك 1)

علينا أن نرسم خطاً مستقيماً يمرّ في نقطة مفروضة ويوازي خطاً مستقيماً مفروضاً

لتكن ا النقطة المفروضة و ب س الخط المستقيم المفروض. علينا أن نرسم خطاً مستقيماً يوازي ب س ويمر بالنقطة ا

عين أية نقطة شئت في ب س كالنقطة مثلاً. أرسم ا د وفي النقطة ا من الخط ا د أرسم الزاوية د ا ي واجعلها أن تعدل الزاوية ا د س (ق 23 ك 1) وأخرج ي ا إلى ف

فمن حيث أن الخط المستقيم ا د يلاقي الخطين المستقيمين ي ف ب س ويجعل معهما الزاويتين المتبادلتين ي ا د ا د س متساويتين فالخط ي ف يوازي ب س (ق 27 ك 1) وقد رُسم حتي يمرّ في النقطة ا المفروضة

إذا اخرج ضلعٌ من أضلاع مثلثٍ فالزاوية الخارجة تعدل الداخلتين المتقابلتين. والزوايا الثلاث الداخلة من كل مثلث تعدل قائمتين

ليكن ا ب س مثلثاً وليخرج منه الضلع ب س إلى د فالزاوية الخارجة ا س د تعدل الداخلتين المتقابلتين س ا ب ا ب س والزاويا الثلاث الداخلة ا ب س ا س ا ب معاً تعدل قائمتين

من النقطة س ارسم الخط المستقيم س ي حتى يوازي ا ب (ق 31 ك 1) فمن حيث ان الخط ا س يلاقي الخطين المتوازيين ا ب س ي فالزاويتان المتبادلتان ا س ي ب ا س متساويتان (ق 29 ك 1) ومن حيث ان ب د يلاقي المتوازيين ا ب س ي فالزاوية الخارجة ي س د تعدل الداخلة المتقابلة ا ب س وقد تبرهن أن ا س ي تعدل ب ا س فكل الخارجة ا س د تعدل الداخلتين المتقابلتين ب ا س ا ب س. اضف إلى هذه الزوايا الزاوية ا س ب فالزاويتان ا س د ا س ب تعدلان الثلاث زوايا ا ب س ب ا س ا س ب ولكن ا س د ا س ب معاً تعدلان قائمتين (ق 13 ك 1) فالزوايا الثلاث ا ب س ب ا س ا س ب أيضاً تعدل قائمتين

فرع أول. جميع الزوايا الداخلة في كل شكل ذي أضلاع مستقيمة تعدل من الزوايا القائمة ما يماثل مضاعف عدد أضلاع الشكل إلا اربع زوايا قائمة

لان كل شكل ذي أضلاع مستقيمة مثل ا ب س د ي ينقسم من كل زاوية إلى نقطة داخلهُ مثل ق فحسب هذه القضية زوايا كل مثلث تعدل قائمتين فجميع زوايا جميع المثلثات يعدل قائمتين في عدد أضلاع الشكل ولكن الزوايا عند ق تعدل زوايا قائمة (ق 15 ك 1 فرع 2) فزوايا الشكل تعدل قائمتين في عدد أضلاع الشكل إلا أربع زوايا قائمة

فرعٌ ثان. مجتمع الزوايا الخارجة من كل شكل ذي أضلاع مستقيمة يعدل أربع زوايا قائمة. لان كل زاوية داخلة ا ب س مع الخارجة المتوالية ا ب د تعدل قائمتين (ق 13 ك 1) فجميع الداخلة مع جميع الخارجة تعدل قائمتين في عدد أضلاع الشكل والداخلة تعدل قائمتين في عدد أضلاع الشكل إلا أربع قائمات حسب الفرع الاول فالخارجة تعدل أربع قائمات

فرعٌ رابع. إذا عدلت زاويتان من مثلثٍ زاويتين من مثلث آخر فالثالثة من الواحد تعدل الثالثة من الاخر والمثلثان متساويا الزوايا

فرعٌ خامس. لا يكون في مثلث أكثر من زاوية واحدة قائمة. لانه لو كانت لهُ قائمتان لكانت الثالثة لا شيء. وبالاحرى لا يكون لمثلث أكثر من زاوية واحدة منفرجة

فرع سادس. في كل مثلث قائم الزاوية مجتمع الحادتين يعدل قائمة

فرع سابع. من حيث أن كل مثلث متساوي الاضلاع هو متساوي الزوايا أيضاً (فرع ق 5 ك 1) فكل زاوية من زواياه تعدل ثلث قائمتين أو ثُلُثَي قائمة

فرع ثامن. مجتمع زوايا ذي أربعة أضلاع يعدل قائمتين في 4 - 2 أي أربع قائمات فإذا كانت زواياه متساوية تكون كل واحدة قائمة وذلك يؤيد الحدّ الخامس والعشرين والسادس والعشرين

فرع تاسع. مجتمع زوايا ذي خمسة أضلاع يعدل قائمتين في 5 - 2 أي ست قائمات فإذا كانت زواياه متساوية تكون كل واحدة خمس ست قائمات أي 6/5 قائمة

فرع عاشر. مجتمع زوايا ذي ستة أضلاع تعدل 2×(6-2) أي ثمان قائمات فإذا كانت زواياهُ متساوية تكون كل واحدة سدس ثمان قائمات أي 4/3 قائمة

تعليقة. متى استعمل الفرع الاول في اشكال كثيرة الاضلاع لها زوايا متداخلة مثل ا ب س فيجب أن تحسب كل متداخلة أكبر من قائمتين وإذا رسم ب د ب ي ب ف ينقسم الشكل إلى أربع مثلثات لها ثماني قائمات أي قائمتان في عدد الاضلاع إلا اثنين

الخطان المستقيمان الموصلان بين أطراف خطَّين مستقيمين متوازيين متساويين هما متوازيان ومتساويان

ليكن ا ب و س د خطَّين مستقيمين متساويين متوازيين وليوصل بين اطرافهما بالخطين المستقيمين ا س ب د فهذان الخطان أيضاً متوازيان متساويان

ارسم ب س فمن حيث ان ب س يلاقي الخطَّين المتوازيين ا ب س د فالزاويتان المتبادلتان ا ب س ب س د هما متساويتان (ق 29 ك 1) ومن حيث ان ا ب يعدل س د والخط ب س مشترك بين المثلثين ا ب س ب س د فالضلعان ا ب ب س يعدلان الضلعان ب س س د والزاوية ا ب س تعدل ب س د فالقاعدة ا س تعدل القاعدة ب د (ق 4 ك 1) وبقية الزوايا من الواحد تعدل بقية الزوايا من الاخر أي ا س ب تعدل س ب د. ومن حيث أن الخط ب س يلاقي الخطين ا س ب د ويجعل الزاويتين المتبادلتين ا س ب س ب د متساويتين فالخطَّان ا س ب د متوازيان (ق 27 ك 1) وقد تبرهن انهما متساويان

فرع أول. في كل شكل ذي أربعة أضلاع إذا كان ضلعان متقابلان متوازيين ومتساويين يكون الضلعان الاخران كذلك ويكون الشكل ذا أضلاع متوازية

فرع ثان. كل ذي أربعة أضلاع ضلعاهُ المتقابلان متساويان هو ذو أضلاع متوازية

فرع ثالث. في كل ذي أربعة أضلاع إذا كانت الزوايا المتقابلة متساوية تكون الاضلاع المتقابلة متساوية ومتوازية

في شكل ذي اضلاع متوازيةٍ الاضلاعُ المتقابلة والزوايا المتقابلة هي متساوية. والقطر ينصفهُ أي يقسمهُ إلى جزئين متساويين

ليكن ا ب د س متوازي الاضلاع و ب س قطرهُ فالاضلاع المتقابلة والزوايا المتقابلة متساوية والقطر ب س ينصفهُ

فمن حيث أن الخط ب س يلاقي الخطَّين المتوازيين ا ب س د فالزاويتان المتبادلتان ا ب س ب س د متساويتان (ق 29 ك 1) وأيضاً لان ب س يلاقي المتوازيين ا س ب د فالمتبادلتان ا س ب س ب د متساويتان (ق 29 ك 1) ففي المثلثين ا ب س ب س د زاويتان من الواحد تعدلان زاويتين من الاخر والضلع ب س مشترك بين المثلثين فالضلعان الاخران من الواحد يعدلان الضلعين الاخرين من الآخر والزاوية الثالثة من الواحد تعدل الثالثة من الاخر (ق 26 ك 1) أي ا ب يعدل س د و ا س يعدل ب د والزاوية ب ا س تعدل س د ب ولان الزاوية ا ب س تعدل ب س د و ا س ب تعدل س ب د فكل الزاوية ا ب د تعدل كل الزاوية ا س د وقد تبرهن ان ب ا س تعدل ب د س فكل الزاوية ا ب د تعدل كل الزواية ا س د وقد تبرهن ان ب ا س تعدل ب د س فالزاويا المتقابلة والاضلاع المتقابلة من ذي أضلاع متوازية هي متساوية وأيضاً القطر ينصفهُ فلان ا ب يعدل س د و ب س مشترك بين المثلثين والزاوية ا ب س تعدل ب س د فالمثلثان متساويان (ق 4 ك 1) وقد انتصف الشكل بالقطر

فرع أول. خطان متوازيان خطَّين متوازيين متساويان

فرع ثانٍ. خطان متوازيان هما على بعد واحد بعضهما من بعض أبداً

فرع ثالث. مجتمع زاويتين متواليتين من ذي اضلاع متوازية يعدل قائمتين

أشكال ذات أضلاع متوازية على قاعدة واحدة وبين خطين متوازيين هي متساوية

أنظر الشكل الثاني والثالث

ليكن ا ب س د و ي ب س ف شكلين متوازيي الاضلاع على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ا ف ب س فالشكل ا ب س د يعدل الشكل ي ب س ف. إذا انتهى الضلعان ا د د ف من الشكلين ا ب س د د ب س ف المتقابلان للقاعدة ب س في نقطة واحدة د فالامر واضح أن كل واحد من الشكلين إنما هو مضاعف المثلث ب د س (ق 34 ك 1) وإذ ذاك فهما متساويان وأن لم ينته في نقطة واحدة الضلعان ا د ي ف من الشكلين ا ب س د ي ب س ف المقابلان للقاعدة ب س فثم من حيث أن ا ب س د متوازي الأضلاع فالضلع ا د يعدل ب س (ق 34 ك 1) ولهذا السبب أيضاً ي ف يعدل ب س ولذلك ا د يعدل ي ف (اولية اولي) و د ي مشترك فالكل أو البقية أي ا ي يعدل الكل أو البقية د ف (أولية ثانية وثالثة) و ا ب يعدل د س فالضلعان ي ا ا ب يعدلان الضلعين ف د د س كل واحد يعدل نظيرَهُ والزاوية الخارجة ف د س تعدل الداخلة المتقابلة ي ا ب (ق 29 ك 1) فالقاعدة ي ب تعدل القاعدة ف س والمثلث ي ا ب يعدل المثلث ف د س (ق 4 ك 1) أطرح المثلث ف د س من الشكل ا ب س ف واطرح منهُ أيضاً ي ا ب فتكون البقايا متساوية (اولية 3) أي الشكل ا ب س د يعدل الشكل ي ب س ف

أشكال ذات أضلاع متوازية على قاعدة متساوية وبين خطين متوازيين هي متساوية

ليكن ا ب س د و ي ف غ ح شكلين متوازيي الاضلاع على قاعدتين متساويتين ب س و ف غ وبين خطين متوازيين ا ح و ب غ فهما متساويان

ارسم ب ي و س ح فمن حيث ان ب س يعدل ف غ و ف غ يعدل ي ح (ق 34 ك 1) فلذلك ي ح يعدل ب س أيضاً وهما متوازيان وقد أوصل بينهما إلى جهة واحدة بالخطين ب ي س ح والخطوط الموصلة بين خطين متوازيين متساويين إلى جهة واحدة هي متوازية ومتساوية (ق 33 ك 1) فالخطان ب ي س ح متساويان متوازيان والشكل ي ب س ح متوازي الاضلاع وهو يعدل الشكل ا ب س د (ق 35 ك 1) لانهما على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ب س ا ح ولهذا السبب أيضاً الشكل ي ف غ ح يعدل ي ب س ح فالشكلان ا ب س د ي ف غ ح متساويان

مثلثات على قاعدة واحدة وبين خطين متوازيين هي متساوية

ليكن ا ب س د ب س مثلثين على قاعدة واحدة ب س وبين خطًّين متوازيين ا د و ب س فهما متساويان

أخرج ا د إلى الجهتين إلى ف و ي (ق 31 ك 1) ومن س ارسم س ف حتى يوازي ب د فكل واحد من الشكلين ا ي ب س د ب س ف متوازي الاضلاع وهما متساويان (ق 35 ك 1) لانهما على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ي ف و ب س والمثلث ا ب س هو نصف الشكل ا ي ب س لان القطر ا ب ينصفهُ (ق 34 ط 1) والمثلث د ب س هو نصف الشكل د ب س ف لان القطر د س ينصفهُ وانصاف اشياء متساوية بعضها لبعض (أولية 7) فالمثلث ا ب س يعدل د ب س

مثلثات على قواعد متساوية وبين خطًّين متساويين هي متساوية

ليكن ا ب س و د ي ف مثلثين على قاعدتين متساويتين ب س ي ف وبين خطين متوازيين ا د و ب ف فهما متساويان

أخرج ا د إلى الجهتين إلى ح و غ وارسم ب غ حتى يوازي ا س (ق 31 ك 1) ومن ف ارسم ف ح حتى يوازي د ي فكل واحد من الشكلين ا غ ب س د ي ف ح متوازي الاضلاع وهما متساويان (ق 36 ك 1) لانهما على قاعدتين متساويتين ب س ي ف وبين خطين متوازيين غ ح ب ف والمثلث ا ب س هو نصف الشكل ا غ ب س (ق 34 ك 1) لان القطر ا ب ينصفه وانصاف اشياء متساوية هي متساوية (اولية 7) فالمثلث ا ب س يعدل المثلث د ي ف

مثلثات متساوية على قاعدة واحدة وعلى جانب واحد منها هي بين خطًّين متوازيين

ليكن ا ب س و د ب س مثلثين متساويين على قاعدة واحدة ب س وعلى جانب واحد منها فهما بين خطين متوازيين

ارسم ا د فالخط ا د يوازي ب س والا فمن النقطة ا ارسم ا ي حتى يوازي ب س (ق 31 ك 1) وارسم ي س فالمثلث ا ب س يعدل المثلث ي ب س (ق 37 ك 1) لانهما على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ب س ا ي والمثلث ا ب س يعدل د ب س فالمثلث ي ب س يعدل د ب س أي الأصغر يعدل الأكبر وذاك محال فلا يمكن أن يكون ب س و ا ي متوازيين وهكذا يبرهن في كل خط الا الخط ا د فهو يوازي ب س

مثلثات متساوية على قواعد متساوية وعلى جانب واحد منها هي بين خطًّين متوازيين إذا كانت القواعد على استقامة واحدة

ليكن ا ب س د ي ف مثلثين متساويين على قاعدتين متساويتين وعلى استقامة واحدة ب س ي ف وعلى جانب واحد منها فهما بين خطَّين متوازيين

ارسم ا د فهو يوازي ب ف وإلا فارسم ا غ حتى يوازي ب ف (ق 31 ك 1) وارسم غ ف فالمثلث ا ب س يعدل المثلث غ ي ف (ق 38 ك 1) لانهما على قاعدتين متساويتين ب س ي ف وبين خطَّين متوازيين ب ف ا غ ولكن المثلث ا ب س يعدل المثلث د ي ف فالذلك المثلث د ي ف يعدل المثلث غ ي ف اي الاكبر يعدل الاصغر وذاك المثلث د ي ف يعدل المثلث غ ي ف أي الاكبر يعدل الأصغر وذاك محال فالخط ا غ لا يوازي ب ف وهكذا يبرهن في كل خط ما عدا ا د فهو يوازي ب ف

إذا كان شكل ذو اضلاع متوازية ومثلث على قاعدة واحدة وبين خطين متوازيين فالشكل مضاعف المثلث

ليكن الشكل ذو الاضلاع المتوازية ا ب س د والثلث ي ب س على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ا ي ب س فالشكل ا ب س د مضاعف ي ب س

أرسم ا س فالمثلث ا ب س يعدل المثلث ي ب س (ق 37 ك 1) لانهما على قاعدة واحدة ب س وبين خطين متوازيين ا ي ب س ولكن الشكل ا ب س د هو مضاعف المثلث ا ب س (ق 34 ك 1) لان القطر ا س ينصفهُ فالشكل ا ب س د مضاعف المثلث ي ب س أيضاً

علينا ان نرسم شكلاً ذا اضلاع متوازية حتى يعدل مثلثاً مفروضاً وزاوية من زواياه تعدل زاوية مستقيمة بسيطة مفروضة

ليكن ا ب س المثلث المفروض و د الزاوية البسيطة المفروضة علينا أن نرسم شكلاً ذا أضلاع متوازية حتى يعدل المثلث ا ب س وزاوية من زواياه تعدل د

نَصِف ب س في ي (ق 10 ك 1) ارسم ا ي ومن النقطة ي في الخط المستقيم ي س اجعل الزاوية س ي ف حتى تعدل د (ق 23 ك 1) ومن ا ارسم ا غ حتى يوازي ب س (ق 31 ك 1) ومن س ارسم س غ حتى يوازي ي ف فالشكل س ي ف غ متوازي الاضلاع فمن حيث ان ب ي يعدل ي س فالمثلث ا ب ي يعدل المثلث ا ي س (ق 38 ك 1) لانهما على قاعدتين متساويتين ب ي ي س وبين خطين متوازي ا غ ب س ولذلك المثلث ا ي س (ق 41 ك 1) لانهما على قاعدة واحدة وبين خطَّين متوازيين فالشكل ف ي س غ يعدل المثلث ا ب س ولهُ الزاوية س ي ف التي تعدل الزاوية المفروضة د

فرعٌ. إذا كانت الزاوية د قائمة يكون الشكل ف ي س غ قائم الزاويا ويعدل المثلث ا ب س فبذات هذا العمل يصنع مثلث حتى يعدل شكلاً مفروضاً زواياه قائمة

الأجزاء المتمَّة لاشكل متوازية الاضلاع واقعةٍ على جانبي قطر شكل متوازي الاضلاع هي متساوية

ليكن ا ب س د شكلاً متوازي الاضلاع و ا س قطرهُ و ي ح و غ ف شكلين متوازيي الاضلاع على جانبي القطر ا س وليكن ب ك و ك د الشكلين الاخرين المتمين لكل الشكل ا ب س د فالمتم ب ك يعدل المتمم ك د

فمن حيث ان ا ب س د متوازي الاضلاع و ا س قطرهُ فالمثلث ا ب س يعدل المثلث ا د س (ق 34 ك 1) ومن حيث ان ا ي ك ح متوازي الاضلاع فالمثلث ا ي ك يعدل المثلث ا ح ك ولهذا السبب أيضاً المثلث ك غ س يعدل المثلث ك ف س فالمثلث ا ي ك مع ك غ س يعدل المثلث ا ح ك مع ك ف س والكل ا ب س يعدل الكل ا د س فالبقية ب ك تعدل البقية ك د (أولية 3)

علينا ان نرسم على خط مستقيم مفروض شكلاً متوازي الاضلاع حتى يعدل مثلثاً مفروضاً وزاوية من زواياه تعدل زاوية بسيطة مفروضة

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض و س المثلث المفروض و د الزاوية المفروضة. علينا أن نرسم على الخط ا ب شكلاً متوازي الاضلاع حتى شكلاً متوازي الاضلاع حتى يعدل س وزاوية من زواياه تعدل د

أرسم الشكل المتوازي الاضلاع ب ي ف غ حتى يعدل المثلث س (ق 42 ك 1) واجعل الزاوية ي ب غ منهُ تعدل الزاوية د واجعل ضلعهُ ي ب والخط ا ب على استقامة واحدة واخرج ف غ إلى ح ومن ا ارسم ا ح حتى يوازي ب غ أو ي ف (ق 31 ك 1) وارسم ح ب. فمن حيث ان الخط المستقيم ح ف يلاقي المتوازيين ح ا ف ي فالزاويتان ا ح ف ح ف ي معاً تعدلان قائمتين (ق 29 ك 1) فالزاويتان ب ح ف ح ف ي معاً أقل من قائمتين ولا بد من إلتقاء ح ب و ف ي إذا أخرجا (ق 29 ك 1 فرع 1) أخرجهما حتى يلتقيا في ك ومن ك ارسم ك ل حتى يوازي ي ا أو ف ح وأخرج ح ا إلى ل واخرج غ ب إلى م فالشكل ح ل ك ف متوازي الاضلاع وقطره ح ك والشكلان ا غ و م ي هما متوازيا الاضلاع على جانبي القطر ح ك. و ل ب و ب ف هما المتَّمان فالتم ل ب يعدل المتم ب ف (ق 43 ك 1) ولكن ب ف يعدل المثلث س فالشكل ل ب يعدل المثلث س إيضاً والزاوية غ ب ي تعدل الزاوية ا ب م (ق 15 ك 1) ولكن ي ب غ تعدل الزاوية د فالزاوية ا ب م تعدل د أيضاً فالشكل ل ب قد رسم على الخط المفروض ا ب حتى يعدل المثلث المفروض س والزاوية ا ب م منهُ تعدل الزاوية المفروضة د

فرع. على هذا الاسلوب يتحول مثلث إلى شكلٍ ذي زوايا قائمة مفروض طول ضلع من أضلاعه. لانه إذا كانت د قائمة و ا ب الضلع المفروض فالشكل ا ب م ل يكون ذا زاويا قائمة ويعدل المثلث المفروض س

علينا ان نرسم شكلاً متوازي الاضلاع حتى يعدل شكلاً مفروضاً ذا اضلاع مستقية وزاوية من زواياه تعدل زاوية بسيطة مفروضة

ليكن ا ب س د الشكل المفروض ذا اضلاع مستقيمة و ي الزاوية البسيطة المفروضة فعلينا أن نرسم شكلاً متوازي الأضلاع حتى يعدل ا ب س د وزاوية من زواياه تعدل الزاوية ي

ارسم د ب ثم ارسم الشكل المتوازي الاضلاع ف ح (ق 42 ك 1) حتى يعدل المثلث ا د ب واجعل الزاوية ح ك ف منهُ تعدل الزاوية ي وعلى الخط المستقيم غ ح ا ر الشكل المتوازي الاضلاع غ م (ق 44 ك 1) واجعلهُ يعدل المثلث د ب س والزاوية غ ح م تعدل الزواية ي

فمن حيث ان الزاوية ي تعدل الزاويتين ف ك ح غ ح م فالزاوية ف ك ح تعدل غ ح م. أضف إلى كل واحدة منهما الزاوية غ ح ك فالزاويتان غ ح م غ ح ك تعدلان الزاويتين ف ك ح غ ح ك ولكن ف ك ح ك ح غ معاً تعدلان قائمتين (ق 29 ك 1) فلذلك ك ح غ غ ح م تعدلان قائمتين فالخطان ك ح ح م هما على استقامة واحدة (ق 14 ك 1) ومن حيث أن الخط المستقيم غ ح يلاقي المتوازيين ك م ف غ فالزاويتان المتبادلتان م ح غ ح غ ف متساويتان (ق 29 ك 1) أضف إلى كل واحدة منهما الزاوية ح غ ل فالزاويتان م ح غ ح غ ل تعدلان الزاويتين ح غ ف ح غ ل تعدلان قائمتين. فالخطان ف غ غ ل هما على استقامة واحدة. ومن حيث ان ك ف يوازي ح غ و ح غ يوازي ل م فالخط ك ف يوازي الخط ل م (ق 30 ك 1) والخط ك م يوازي ف ل فالشكل ك م ل ف متوازي الاضلاع. والمثلث ا ب د يعدل الشكل ح ف والمثلث د ب س يعدل الشكل غ م فالكل ا ب س د يعدل الكل ك ف ل م. فقد رُسم شكلٌ متوازي الاضلاع ك م ل ف حتى يعدل الشكل المفروض ا ب س د والزاوية ف ك م منهُ تعدل الزاوية المفروضة ي

فرعٌ. على هذا الاسلوب يبنى على خط مستقيم مفروض شكلٌ متوازي الاضلاع لهُ زاوية تعدل زاوية مفروضة وهو يعدل شكلاً مفروضاً ذا اضلاع مستقيمة اي يبني أولا على الخط المفروض شكلاً متوازي الاضلاع يعدل المثلث الاول ا ب د (ق 44 ك 1) وزاوية من زواياهُ تعدل الزاوية المفروضة

علينا ان نرسم مربعاً على خط مستقيم مفروض

ليكن ا ب الخط المستقيم المفروض. علينا ان نرسم عليهِ مربعاً من النقطة ا ارسم الخط ا س عموداً على ا ب (ق 11 ك 1) واقطع ا د حتى يوازي ا ب (ق 31 ك 1) ومن ب ارسم ب ي حتى يوازي ا ب (ق 31 ك 1) ومن د ارسم د ي حتى يوازي ا د. فالشكل ا د ي ب متوازي الاضلاع والخط ا ب يعدل د ي والخط ا د يعدل ي ب (ق 34 ك 1) ولكن ا ب يعدل ا د فالخطوط الاربعة ا ب ا د د ي ب ي هي متساوية والشكل المتوازي الاضلاع ا ب ي د هو متساوي الاضلاع أيضاً وزواياهُ قائمة لان ا د الذي يلاقي المتوازيين د ي ا ب يجعل الزاويتين ب ا د ي تعدلان قائمتين (ق 29 ك 1) وقد جعلت ب ا د قائمة فتكون ا د ي أيضاً قائمة وفي كل شكل ذي أضلاع متوازية تكون الزاويا المتقابلة متساوية (ق 34 ك 1) فالزاويتان ا ب ي ب ي د هما أيضاً قائمتان فالشكل ذو زوايا قائمة وقد تبرهنت مساواة الاضلاع وقد رُسم على الخط المفروض ا ب

فرعٌ. كل ذي متوازي الاضلاع له قائمة واحدة تكون جميع زواياه قائمات

في كل مثلثٍ ذي قائمة مربَّعُ الوتر يعدل مربَّعَي الساقين

ليكن ا ب س مثلثاً ذا قائمة ب ا س فمربَّعُ الوتر ب س يعدل مربع ا ب مع مربع ا س

ارسم على ب س المربع ب د ي س (ق 46 ك 1) وعلى ب ا المربع ب غ وعلى ا س المربع س ح ومن ا ارسم ا ل حتى يوازي ب د ا و س ي (ق 31 ك 1) ارسم ا د و ف س. الزاوية ب ا س قائمة و ب ا غ كذلك (حدّ 25) فالخط المستقيم ب ا يجعل مع الخطَّين المستقين ا س ا غ الزاويتين المتواليتين ب ا س ب ا غ تعدلان قائمتين فالخطان على استقامة واحدة (ق 14 ك 1) ولهذا السبب الخطان ب ا ا ح أيضاً على استقامة واحدة. والزاوية د ب س تعدل الزاوية ف ب ا لانهما قائمتان. أضف إلى كل واحدة ا ب س فكل الزاوية د ب ا تعدل الكل ف ب س (اولية 3) والضلعان ا ب ب د يعدلان الضلعين ف ب ب س كل واحد يعدل نظيره. والزاوية ا ب د يعدل المثلث ف ب س فالقاعدة ا د تعدل القاعدة ف س (ق 4 ك 1) والمثلث ا ب د يعدل المثلث ف ب س. والشكل المتوازي الاضلاع ب ل هو مضاعف المثلث ا ب د (ق 41 ك 1) لانهما على قاعدة واحدة ب د وبين خطين متوازيين ب د ا ل. والمربع ب غ هو مضاعف المثلث ف ب س لانهما على قاعدة واحدة ب ف وبين خطين متوازيين ب ف غ س والاشياء المضاعفة أشياء متساوية هي متساوية (أولية 6) فالشكل ب ل يعدل المربع ب غ. وهكذا إذا رُسم ب ك واي يبرهن ان الشكل س ل يعدل المربع ح س فكل المربع ب د ي س يعدل المربعين ب غ و ح س

فرعٌ اول. مربعُ ساق مثلثٍ ذي قائمة يعدل مربع الوتر الا مربع الساق الاخر أي ا ب ² = ب س ² - ا س ²

فرع ثان. إذا فرض ا ب = ا س إي إذا كان ا ب س متساوي الساقين فلنا ب س ² = 2 ا ب ² = 2 ا س ² و ب س = ا ب ²^0.5

فرع ثالث. في مثلثين قائمي الزاويتين إذا عدل ضلعان من الواحد ضلعين من الاخر فالضلع الثالث من الواحد يعدل الثالث من الاخر

إذا عدل مربعُ ضلع مثلثٍ مربَّعي الضلعين الآخرين فالمثلث قائم الزاوية

ليكن ا ب س مثلثاً ولنفرض أن مربًّع ب س يعدل مربًّعَي ب ا ا س فتكون ب ا س قائمة

من ا ارسم ا د عموداً على ا س (ق 11 ك 1) واجعل ا د يعدل ا ب وارسم د س

فمن حيث ان د ا يعدل ا ب فمربع د ا يعدل مربع ا ب أضف إلى كل واحد منها مربع ا س فمربع د ا مع مربع ا س يعدل مربع ب ا مع مربع ا س ولكن مربع د س يعدل مربع د ا مع مربع ا س (ق 47 ك 1) لان دا س قائمة وحسب المفروض مربع ب س يعدل مربع ب ا مع مربع ا س. فمربع د س يعدل مربع ب س والضلع د س يعدل الضلع ب س ولان د ا يعدل ا ب و ا س مشارك بين المثلثين د ا س ب ا س والقاعدة ب س تعدل القاعدة د س فالزاوية د ا س تعدل الزاوية ب ا س (ق 8 ك 1) و د ا س قائمة فتكون ب ا س قائمة إيضاً

الخط العمودي هو أقصر الخطوط التي يمكن رسمها من نقطة خارجة عن خط مفروض إلى ذلك الخط وكل خطَّين مائلين واقعَين على جانبي العمود خارجين من نقطة واحدة وفاصلين جزئين متساويين من الخط الذي يقعان عليه هما متساويان ومن كل خطين أخرين مائلين فاصلين جزئين غير متساويين فابعدهما عن العمود أطولهما

ليكن ا ب ا س ا د إلى أخرهِ الخطوط المرسومة من النقطة المفروضة ا إلى الخط المستقيم الغير المحدود د ي وليكن ا ب عموداً فهو أقصر من ا س و ا س أقصر من ا د وهلم جرَّا لانَّ الزاوية ا ب س قائمة فالزاوية ا س ب حادَّة (ق 17 ك 1) ا ب س والزاوية الصغرى من كل مثلث يقابلها الضلع الاقصر (ق 19 ك 1) فالضلع ا ب أقصر من الضلع ا س. ثم إذا كان ب س و ب ي متساويين يكون الخطان المائلان ا س ا ي متساويين إيضاً. لانَّ الزاوية ا ب س = ا ب ي والضلع ا ب مشترك بين المثلثين ا ب س ا ب ي فالمثلثان متساويان (ق 4 ك 1) والضلع ا س = ا ي. ولانَّ الزاوية ا س ب حادَّة فالزاوية ا س د منفرجة لانهما معاً تعدلان قائمتين (ق 13 ك 1) والزاوية ا د س حادَّة لان ا ب د قائمة فالزاوية ا س د هي أكبر من ا د س فالضلع ا د أطول من الضلع س (ق 19 ك 1)

فرعٌ أول. العمود هو قياسٌ حقيقيٌ للبعد بين نقطةٍ وخطٍ لانهُ البعد الاقرب بينهما

فرعٌ ثانٍ. كل نقطة في عمود على نقطة انتصاف خط هي على بعد واحد من طرفي الخط

فرع ثالث. من نقطة واحدة لا يمكن رسم ثلاثة خطوط متساوية إلى خط واحد وإلا لكان خطان مائلان متساويان على جانب واحد من العمود وذاك لا يمكن

إذا عدل وتر مثلث قائم الزاوية وساق من ساقيه وتر مثلث آخر قائم الزاوية وساقاً من ساقيه فالمثلثان متساويان

لنفرض الوتر ا س = د ف والضلع ا ب = د ي فالمثلث القائم الزاوية ا ب س = القائم الزاوية د ي ف. فلو فُرِضَتْ مساواة الضلع الثالث منهما لكانت مساواة المثلثين ظاهرة. وان لم يكن الضلعان الاخران متساويين فخذ جزءاً من ب س مثل ب ح حتى يعدل ي ف (ق 3 ك 1) ارسم ا ح فالمثلث ا ب ح = د ي ف (ق 4 ك 1) ارسم ا ح فالمثلث ا ب ح = د ي ف (ق 4 ك 1) لانَّ ا ب = د ي و ب ح = ي ف والزاوية ا ب ح = د ي ف لانهما قائمتان فلذلك ا ح = د ف ولكن قد فُرِض ان ا س = د ف فالنتيجة ان ا ح = ا س ولكن حسب القضية الماضية الأبَعد عن العمود هو أطول من الاقراب إليه فلا يمكن ان ا ح = ا س ولا يمكن ان ب س لا يعدل ي ف فالمثلثان ا ب س د ي ف متساويان

إذا كان ضلعا زاويةٍ موازيين ضلعي زاوية أخرى وكان انفراجهما إلى جهة واحدة فالزاويتان متساويتان

لنفرض أن ا ب يوازي د ف و ا س يوازي د ي فالزاوية س ا ب = ي د ف.

ارسم غ ا د على رأسَيهما. فلان ا ب يوازي د ف فالزاوية الخارجة غ ا ب = غ د ي فالبقية س ا ب = البقية ي د ف

فرعٌ. إذا أُخرج ب ا إلى م و س ا إلى ح فلنا ب ا س = ح ا م وإذ ذاك فالزاوية ح ا م = ي د ف إيضاً

تعليقة. يلزم حصر القضية بشرط انفراج الخطين إلى جهة واحدة لانَّ في الزاوية س ا م س ا يوازي ي د و ا م يوازي د ف ولكن الزاويتان غير متساويتين و س ا م و ي د ف معاً تعدلان قائمتين

مفروض زاويتان من زوايا مثلث وعلينا مثلث وعلينا أن نجد الثالثة

ارسم خطاً مستقيماً مثل س د وفي نقطة منهُ مثل ب أجعل الزاوية س ب ا حتى تعدل واحدة من الزاويتين المفروضتين والزاوية ا ب ي حتى تعدل الاخرى فالباقية ي ب د تعدل الثالثة لان هذه الثلاث زوايا تعدل قائمتين (فرع ق 13 ك 1)

مفروض زاويتان من زوايا مثلث وضلع من أضلاعه فعلينا أن نرسم المثلث

الزاويتان المفروضتان تكونان المواليتين ضلع المفروض أو تكون أحداهما متوالية لهُ والاخرى متقابلة لهُ. ففي الحالة الثانية استعلم الثالثة حسب القضية الماضية فتكون هي الاخرى المتوالية

ثم ارسم الخط المستقيم ب س حتى يعدل الضلع المفروض وعند ب أجعل الزاوية س ب ا تعدل أحدى المتواليتين وعند س أجعل الزاوية ب س ا تعدل الاخرى المتوالية فالخطان ب ا ب س يتقاطعان ويحدث من ذلك المثلث المفروض لانه لو كانا متوازيين لكانت الزاويتان عند ب و س تعدلان معاً قائمتين ولم تكونا زوايا مثلث فبالضرورة يكون ا ب س المثلث المطلوب

مفروض ضلعان من أضلاع مثلثٍ وزاويةٌ متقابلة لاحدهما فعلينا أن نرسم المثلث

لهذه العملية حالتان أحداهما متى كانت الزاوية المفروضة منفرجة. أجعل الزاوية ب ص ا تعدل المفروضة ثم أجعل ص ا يعدل الضلع الذي يوالي الزاوية المفروضة فلو جعلت النقطة ا مركزاً والضلع الاخر أي ا ب بعداً ورُسم قوسٌ لقطع ب س على جانبي ص فلا يمكن أن يرسم أكثر من مثلث واحد ذي زاوية منفرجة على هذه الكيفية وهو المثلث ب ص ا

ولو كانت المفروضة قائمة لرُسِم مثلثان لكن الوتران يقطعان ب س على بعدٍ واحد على جانبي العمود فكان المثلثان متساويين

الحالة الثانية متى كانت الزاوية المفروضة حادَّة والضلع المتقابل أطول من المتوالي فالعمل فيها كما تقدَّم. اجعل ب س ا تعدل المفروضة و ا س يعدل الضلع المتوالي ثم أجعل ا مركزاً والضلع الاخر طولاً فإذا كان طوله ا ب فالقوس يقطع س ب في ب.

ارسم ا ب فيكون ب ا س المثلث المطلوب وإذا كانت المفروضة حادَّة والضلع المتقابل اقصر من الاخر فاجعل ا مركزاً و ا س بعداً فالقوس يقطع ب س في س و ص على جانب واحد من ب فيحدث مثلثان ب ا ص ب ا س وكل واحد منهما مستوف شروط العمل

تعليقة. في هذه الحالة الاخيرة لو كان طول الضلع الاقصر طول العمود من ا إلى ب س لحدث مثلثٌ قائم الزاوية. ولو كان ذلك الضلع أقصر من العمود من ا على ب س لكانت المسئلة غير ممكنة في كل الاحوال

علينا أن نجد مثلثاً يعدل شكلاً مفروضاً ذا أضلاعٍ مستقيمة

ليكن ا ب س د ي الشكل المفروض. ارسم القطر س ي الذي يفصل من الشكل المثلث س د ي. ارسم د ف حتى يوازي س ي واخرج ا ي إلى ف ثم أرسم س ف فالشكل ا ب س د ي يعدل الشكل ا ب س ف لانَّ المثلثين س د ي س ف ي هما على قاعدة واحدة س ي وبين خطين متوازيين س ي د ف فهما متساويان (ق 37 ك 1) ثم ارسم القطر س ا وارسم ب غ حتى يوازي س ا واخرج ي ا إلى غ وارسم س غ فالشكل ا ب س د ي قد تحول إلى مثلث يعدله غ س ف

فرع. من حيث أن المثلث يمكن تحزيلهُ إلى شكل ذي زوايا قائمة يعدله فبالضرورة كل ذي أضلاع كثيرة يمكن تحويله إلى شكل ذي زوايا قائمة يعدله

علينا أن نستعلم ضلع مربعٍ يعدل مجتمع مربعين

ارسم خطين غير محدودين مثل ا ب ا س أحدهما عمودي على الآخر. ثم أقطع ا ب حتى يعدل ضلعاً من احد المربعين المفروضين و ا س الاخر. أرسم ب س فلان ب ا س قائمة فمربع ب س = مربع ب ا مع مربع ا س (ق 47 ك 1)

تعليقة. هكذا يُرسَم مربعٌ يعدل مجتمع أيّ مربعات فُرضت وذلك بتحويل ثلاثة منها إلى اثنين واثنين إلى واحد وهلمًّ جرًّا

علينا أن نجد ضلع مربعٍ يعدل فضلة مربعين مفروضين

ارسم كما في القضية السابقة ا س ا د أحدهما عموداً على الاخر واجعل ا س يعدل ضلع اصغر المربعين ثم أجعل س مركزاً وضلع المربع الاخر بعداً وارسم قوساً يقطع ا د في د فالمربع المرسوم على ا د يعدل فضلة مربَّعي س د و ا س لان د ا س قائمة و ا د² = س د² - ا س² (ق 47 ك 1 فرع أول)

مفروض شكلٌ ذو زوايا قائمة وعلينا أن نرسم أخر مثلهُ لهُ ضلع مفروض

ليكن ا ي ق ح الشكل المفروض. اخرج ضلعاً من أضلاعهِ مثل ا ح حتى يصير ح ب على الطول المفروض. أخرج ا ي وارسم ب ق وأجعل ق غ يعدل ح ب وارسم ب غ س و ح ق ك حتى يوازيا ا ب أو ي غ فالشكل غ ق ك س يعدل ا ح ق ي (ق 43 ك 1) ولهُ ق غ الضلع المفروض

فرعٌ. شكل ذو أضلاع كثيرة يمكن تحويلهٌ إلى شكل ذي زوايا قائمة يعدلهٌ ولهٌ ضلع مفروض