نظرية ذات الحدين ( Binomial theorem )

نظرية ذات الحَدَّيْن صيغة مهمة في معادلات الجبر الرياضية وتتكون من حدين تربط بينهما علامة الإضافة (+) أو الطرح (-). ومثال ذلك (أ +ب) إذ تمثل (أ) حداً و (ب) الحد الثاني. والتعبير (أ+ب)^ن يعني أن مجموع الحدين مرفوع للقوة ن. وينتج عن هذه العملية عبارة جبرية تسمى مفكوك الحدين. فمثلاً مفكوك (أ+ب)². هو أ²+2أب+ب². ووضعت نظرية ذات الحدين قاعدة لكتابة مفكوك (أ+ب)^ن كما فى المثال التالي:

وكل من الصِّيغ أعلاه تتبع نسقًا معينًا. (1) كل (ن+1) حد. (2) الحد الأول هو أ^ن والحد الأخير هو ب^ن. (3) يتناقص أس (أ) بمعدل (1) فى كل حد ويتزايد أس (ب) بمعدل (1). (4) مجموع أس (أ) وأس (ب) فى الحد هو (ن). (5) معامل الحد الأول هو (1) ومعامل الحد الثاني هو ن/1 ومعامل الحد الثالث هو [ن(ن-1)]/(1×2) وتستمر على هذا المنوال. وهذا النسق يمكن من كتابة التمدد فى شكل عام يسمى نظرية ذات الحدين كما يلى:

وعموما يمكن استخدام الحرف (ر) ليمثل قوة(ب) في التمدد0 ويمكن كتابة صيغة الحد المشتمل على (ب^ر) كما يلي:

وتستخدم نظرية ذات الحدين في تحليل توزيع احتمالات الحدين. ويصف هذا التوزيع النواتج المكونة لتجربة ما ومعامل حدود نظرية ذات الحدين هي نفس عناصر مثلث باسكال. وقد اكتشف السير إسحق نيوتن أن نظرية ذات الحدين تؤدي إلى سلسلة لانهائية إذا كان أس ن عددًا غير صحيح. ★ تَصَفح: المتسلسلة.