الهندسة التحليلية و تدعى أيضا الهندسة الاحداثية او التنسيقية و سابقا الهندسة الديكارتية ، هي دراسة الهندسة اعتمادا على المبادئ الجبرية . عادة تستخدم جمل احداثيات ديكارتية لوصف نقاط الفراغ بدلالة أرقام هي الاحداثيات ثم يتم ايجاد المعادلة الجبرية التي تصف كلا من الدائرة أو القطع الناقص أو القطع المكافيء ... .
تقوم الهندسة التحليلية على وصف الأشكال الهندسية بطريقة جبرية عددية ، و استخراج معلومات رقمية من تمثيلات هندسية . مثال الشكل الجبري للدائرة هي : (x^2-2)+(y^2-2)=0) حيث نصف قطر الدائرة هنا هو (2) و بشكل عام : (س^2-أ)+(ع^2-أ)=0 و نصف قطر الدائرة هنا هو (أ)
الهندسة التحليلية الخــط المستقيم
الهندسة التحليلية هي فرع المعرفة الرياضية الذي تم من خلاله الربط بين فرعي الهندسة والجبر وهي طريقة لدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية 0 وتهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة الاقليدية غير أنها تتيح طرقا أيسر لبرهان العديد من النظريات وتلعب دورا مهما في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل . تستخدم الهندسة التحليلية نطاقا احداثيا يسمى النظام الديكارتي نسبة إلى العالم الفرنسي
رينيه ديكارت ( 1596 – 1650 ) صاحب الفكرة الأساسية للربط بين الهندسة والجبر وهي تمثيل كل نقطة في المستوى ببعديها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل ( 0 ، 0 ). يسمي المستقيمان المتعامدان محوري الإحداثيات 0 المحور الأفقي هو المحور السيني والمحور الراسي هو المحو الصادي ويحدد موقع النقاط في المستوى بإعطائها احداثيين على خطى الأعداد
س ، ص ويسمي س الاحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة(س،ص) بالنسبة لمحور السينات بينما يحدد ص الاحداثي الصادي موقع0 النقطة بالنسبة لمحور الصادات ويكتب هذان الإحداثيان
على صورة زوج مرتب (س ، ص )0
- ترتبط كل نقطة في المستوى بزوج مرتب وحيد من الأعداد (س ، ص )
وأيضا كل زوج مرتب يرتبط بنقطة واحدة وواحدة فقط في المستوى وبذلك يكون لدينا تطبيق تقابل من :
مجموعة نقاط المستوى إلى ة (س، ص) : س ، ص ي ح ’ - محوري الإحداثيات يقسمان المستوى الاحداثي إلى أربعة أرباع :
الربع الأول = ة ( س، ص) : س < 0 ، ص < 0 : س ، ص ي ح’ الربع الثاني = ة ( س ، ص ) : س > 0 ، ص <0 : س ، ص ي ح’ الربع الثالث = ة ( س، ص ) : س >. ، ص > 0 : س ، ص ي ح’
الربع الرابع = ة ( س ، ص : س < 0 ، ص > 0 : س ، ص ي ح’
كذلك يمكن وصف المحور السيني والمحور الصادي كمجموعة من النقاط كالتالي :- المحور السيني = ة( س،ص) : س ي ح ، ص = 0 ’ المحور الصادي = ة (س،ص) : ص ح ، س= 0 ’ تدريب 1 :-
(1) أكتب مجموعة النقاط التي تمثل المستقيم الذي يوازي محور الصادات ويمر بالنقطة (-3 ،4) 0 (2) أكتب مجموعة النقاط التي تمثل المستقيم الذي يوازي محور السينات ويمر بالنقطة (-3،4)0 تدريب 2 :-
مثل في مستوى الإحداثيات بيانيا كل علاقة مما يلي ثم بين أي منها يمثل تطبيقا :- (1) المستقيم ل = ة( س،ص) : س، ص ي ح ، ص = س+4’ (2) المستقيم ك = ة (س‘ص) : س، ص ي ح ، 3 ص +س – 1=0 ’ (3) المنطقة م1 = ة (س،ص) : س، ص ي ح ‘ ص< س – 5’ (4) المنطقة م 2= ة (س،ص) : س ،ص ي ح ، ص > 2س’ (5) الدائرة م1 = ة ( س،ص) : س2 + ص2 = 4 ’ (6) الدائرة م2 = ة ( س،ص) : س2 + ص2 = 25 ’ (7) القطع المكافيء ق = ة( س،ص ) : س،ص ي ح ، ص= س2 ’
أ
=========================== ب لتكن أ ب قطعة مستقيمة حيث أ ( س1،ص1 ) ، ب ( س2 ، ص2 ) فان المسافة بين النقطتين ا ، ب هي
أب = [(س: 2 –: :س1 :)2::+( :ص2 :– :ص1:)2:
- البعد بين النقطة أ ( س ‘ ص ) ونقطة الأصل = [س@+/ ص@/
- احداثيا نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة أ ب هي ( س1 + س2 ، ص1 + ص2 )
2 2
لتكن أ ب قطعة مستقيمة حيث أ(س1 ،ص1) ،
ب ( س2 ، ص2 ) ولتكن ج ( س ، ص) تقسم المسافة بين ا،ب من الداخل بنسبة ل 1: ل 2 من جهة أ
فيكون احداثيا نقطة التقسيم ج =
( ل1 س2 + ل2 س1 ، ل1 ص2 + ل2 ص1 ) ل1+ ل2 ل1 + ل2
مثال 1:
لتكن أ ( 1 ، 2 ) ، ب( 1 ، 4 ) أوجد إحداثيا جـ التي تقسم القطعة أ ب من الداخل بنسبة 3:1 من جهة أ
الحل :
احداثيا جـ هي ( ل2 س1+ ل1 س2 ، ل1ص2 + ل2 ص1 ) ل1+ ل2 ل1 + ل2 = ( 1× 1 + 3 × 1 ، 1 × 4 + 3×2 ) = ( 1 ، 5ر2) 4 4
مثال 2 :
إذا كان أ ب ج مثلث رؤوسه أ ( س1 ، ص1 ) ،ب ( س2 ، ص2 ) جـ ( س3 ، ص3 ) فأوجد احداثيا النقطة م ملتقى القطع المتوسطة للمثلث أ ب جـ 0 ب
الحل : ب د قطعة متوسطة للمثلث 0 ج
إ د في منتصف القطعة أ جـ د أ بم احداثيا د هي ( س1 + س2، ص1 + ص2 )
2 2
، م ( س ، ص ) هي نقطة تلاقي القطع المتوسطة للمثلث
إ م تقسم ب ء ، من الداخل بنسبة 1:2 من جهة ب إ باستخدام قانون التقسيم من الداخل يكون :
1× س2 + 2 × س1 + س2
س = = س1 + س2 + س3
1× ص2 + 2 × ص1 + ص2 ص= = ص1 + ص2 + ص3
إ إحداثيات نقطة تلاقي القطع المتوسطة هي :-
م ( س1+س2 + س3 ، ص1+ ص2 + ص3 )
__________________________________________________________________
تمرينـــــات
(1) أوجد مساحة المنطقة المثلثة أ ب جـ حيث
أ(س1 ، ص1 ) ، ب ( س2 ، ص2 ) ، جـ ( س3 ، ص3) .
(2) س ص ع مثلث بحيث س ( -1 ، 2) ، ص( 3 ، -5) ، ع (1 ، -2 ) أوجد احداثيا
نقطة تلاقي القطع المتوسطة للمثلث س ص ع 0
(3) اثبت أن المثلث الذي رؤوسه أ ( 3 ، 4) ، ب( 0 ، -7) ، ج ( 6 ، 2 ) قائم الزاوية ، ثم
أوجد مساحة المنطقة المثلثة أ ب جـ 0
(4) اثبت أن النقط أ ( 3 ، 4 ) ، ب( - 6 ، -8 ) ، ونقطة الأصل تقع على استقامة واحدة 0 (5) أوجد طول القطعة المتوسطة المارة بالنقطة أ للمثلث الذي رؤوسه هي
أ ( -2 ، -6 ) ، ب( 6 ، -1) ، جـ ( 0 ، 5 ) 0
(6) أوجد مساحة منطقة المثلث أ ب جـ الذي رؤوسه أ ( -3 ، 1)،ب( -1 ، 3) ، جـ( 5 ، 3) (7) س ص ع مثلث بحيث س ( -1 ، 2 ) ، ص(3،-5) ، ع(1، -2) أوجد احداثيا نقطة
تلاقي القطع المتوسطة للمثلث س ص ع 0
ميل المستقيم :-
إذا كان ل مستقيما لا يوازي محور الصادات وكانت (س1 ، ص1 ) ، ( س2 ، ص2 ) أي نقطتين على الخط المستقيم ل فإن ميل المستقيم ل = ص2 - ص1 س2 لا يساوي س1 س2 - س1
ملاحظة :
جميع المستقيمات الموازية لمحور الصادات ليس لها ميل 0
هو: م= ظا هـحيث 50 < هـ < 5180 ، هـ لا تساوي 90 5
ويلاحظ الآتي :- - إذا كانت زاوية الميل حادة فإن ميل المستقيم يكون موجبا 0 - إذا كانت زاوية الميل منفرجة فإن الميل يكون سالبا 0 - إذا كانت زاوية الميل قائمة فإن المستقيم في هذه الحالة
يكون رأسيا أي يوازي محور الصادات وليس له ميل 0
- إذا كانت زاوية الميل هـ = 0 فأن المستقيم في هذه الحالة يكون أفقيا أي يوازي محور السينات وميله يساوي صفرا 0
- المستقيمان المتوازيان لهما نفس الميل 0
( بشرط ألا يوازي أحدهما محور الصادات ) والعكس أيضا صحيح أي باعتبار ل1 ، ل2 مستقيمان غير رأسيان ميلاهما م1 ، م2 على الترتيب فإن :- ل1 // ل2 إذا وفقط إذام1 = م2
- المستقيمان المتعامدان يكون
حاصل ضرب ميلاهما = -1 ( بشرط ألا يوازي أحداهما محور الصادات )0 والعكس أيضا صحيح أي ل1 ا ل2 إذا وفقط إذا م1 × م2 = -1
رابعا : معادلة المستقيم :-
(1) معادلة المستقيم الذي ميله م ويمر بالنقطة ( س1، ص1 ) هي: ص – ص1 = م (س- س1)
(2) معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( س1 ، ص1) ، (س2 ، ص2)
هي:ص - ص1 = ص2 - ص1 س - س1س2 - س1
مثال :-
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (1، -2) ، ( -3 ، 4)
الحل :
ميل المستقيم م =4 – ( - 2 ) = - 3 - 3 - 12
معادلة المستقيم هي :
ص – (-2 ) = - #؛2 ( س – 1 ) أي 3س + 2ص + 1=0
حل آخر باستخدام الصورة الأخرى لمعادلة المستقيم 0
هي: ص – ص1 =ص2 - ص1 س – س1س2 - س1 ص – (- 2) = 4 – ( - 2) س - 1 - 3 - 1 ص + 2 = 6 س - 1 -4
أي 3 س + 2 ص + 1 = 0
مثال : أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( 3 ، -1) ، (3، 5 ) الحل
بم س1 = س2 إ المستقيم ليس له ميل إ المستقيم رأسي أي أنه يوازي محور الصادات 0
أي أن جميع نقط المستقيم لها نفس الاحداثي السيني 0
بم (3 ، -1 ) يللمستقيم 0 إ معادلة المستقيم هي س = 3
مثال :-
أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين ( 1 ، 2 ) ، (4 ، 2 )
الحل :- ميل المستقيم م = 2 – 2 = 0
4 - 1 إ المستقيم يوازي محور السينات إ الإحداثيات الصادية لجميع نقطه متساوية 0 إ معادلته هي ص = 2 .
(3) معادلة المستقيم الذي ميله م ويقطع من محور الصادات جزءا طوله ج
هي : ص = م س + ج مثال 4 :-
أوجد معادلة المستقيم الذي ميله 2 ويقطع 5 وحدات من الجزء السالب لمحور الصادات 0 الحـــل :-
ص = 2س – 5 أو 2س – ص – 5 =0
(4) الصورة العامة لمعادلة المستقيم ا س + ب ص + ج = 0
حيث ا، ب ، ج يح ، ا، ب لا يساويان الصفر معا 0
ويمكن استنتاج أن ميل المستقيم م = - ا؛بب حيث ب لا تساوي صفرا 0
ب
فمثلا المعادلة 3س -2 ص +5 = 0 تمثل معادلة مستقيم ميله = #؛2
ويقطع جزءا من محور الصادات طوله %؛2 ويقطع جزءا من محور السينات طوله %23؛2
ملاحظة :- إذا تقاطع مستقيمان ميلاهما م1 ، م2 فانه يمكن
إيجاد قياس الزاوية إلى يحدادنها هـ باستخدام القانون : ظا ه = م 1 – م 2
مثال :- أوجد قياس الزاوية بين المستقيمان ل1 : ص – [3 س + 5 = 0 ، ل2 : س - [3 ص – 3 =0 الحل :- بفرض م1 ميل المستقيم ل1 ، م2 ميل المستقيم ل2
إ م1 = [3 ، م2= ! [3 ظاهـ = م1 -م2= 1 1 + م1 م2 [3 إ هـ = 30 5وهي قياس الزاوية بين المستقيمان
خامسا :- بعد نقطة عن مستقيم
بعد النقطة ك ( س1، ص1) عن المستقيم ل : اس + ب ص + ج = 0 ك(س1،ص1) إذا رمزنا له بالرمز ف فان ف = ‘اس1 + ب ص1 + ج‘ ل
ا2 + ب2
ويمكن استخدام القانون السابق في إيجاد البعد بين مستقيمين متوازيين0 مثال :- أثبت أن المستقيمين ل1 : 3س – 4 ص + 2 = 0، ل2 : 6س – 8ص -7 =0 متوازيان ثم أوجد البعد بينهما0 الحــل :-
إ م1 = #؛4 ، م2 = #؛4 إ م1 = م2 إ ل 1 ]ل2 ولإيجاد البعد بينهما نعين نقطة على المستقيم الأول ثم نوجد بعدها عن المستقيم الثاني بوضع س = 2 في معادلة المستقيم ل1 إ ص = 2 إ (2 ، 2) ي ل1
إ ف = ‘6 × 2 – 8 × 2 – 7 ‘ = 1.1 10
إ البعد بين المستقيمين = 1.1 وحدة
تمرينـــــــات
(1) أوجد معادلات المستقيمات التي تحقق الشروط التالية :- ( أ ) الميل = -3 ويمر بالنقطة ( -1 ، 2 ) ( ب) الميل = 4 والجزء المقطوع من محور الصادات = 2 ( ج) يمر بالنقطتين ( -1 ، 4 ) ، ( 2 ، -3 ) (د) طول الجزء المقطوع من محور السينات 4 وحدات وطول الجزء المقطوع
من محور الصادات وحدتين 0
( هـ ) يمر بالنقطة ( -2 ، 3 ) ويوازي المستقيم 3 س – ص + 1 = 0 (و ) يمر بالنقطة ( 1 ، 4 ) وعمودي على المستقيم ص – س = 0
(2 ) أوجد المسافة بين المستقيمين المتوازيين 0
ص + س – 3 = 0 ، 2ص + س + 10 = 0
(3) أوجد مساحة المثلث الذي رؤوسه هي النقط :-
( 2 ، 2 ) ، ( 6 ، 5 ) ، ( 4 ، -6 )
(4) أوجد مساحة متوازي الأضلاع أ ب ج د حيث أ ( 4 ، -4 ) ، ب ( -1 ، -3 )
ج ( -3 ، 5 ) ، د ( 2 ، 4 )
(5 ) أثبت أن المستقيمان
ل1 : 3س – 4ص + 12 = 0 ل2 : 6س – 8 ص + 4 = 0 متوازيان ثم أوجد البعد بينهما 0
التحويلات الهندسية :-
تدريب : اعتبر التحويل الهندسي
ت : سس سس حيث سس مجموعة نقاط المستوى 0 ت : (س ، ص ) = ( 2س ، ص + 3 )
فإذا كان ت ( م) = مَ فأوجد
مَإذا كانت م ( -1 ،2 ) م إذا كانت مَ ( -3 ، 0 )
الانعكاس في محور :
هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ َ على النحو التالي :-ل
إذا كانت أ ي ل فإن أ أ وإذا كانت أ يي ل فأن أ أ َ حيث أ / / أ َ أ أ َ ل ، أ د = أ َد يسمى المحور ل محور الانعكاس وكل نقطة من نقاط ل تسمى نقطة ثابتة 0
تدريب :
عين صورة النقطة ( س ، ص ) تحت تأثير
(1) انعكاس في محور السينات (2) انعكاس في محور الصادات (3) انعكاس في المستقيم ص = س
الانعكاس في نقطة م : هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ َ ام
بحيث يكون أ" م " أَ أ م = أ َم ،م م 0
تسمى النقطة م ( مركز الانعكاس ) النقطة م هي النقطة الثانية الوحيدة0
خواص الانعكاس في محور ( أو في نقطة ) الانعكاس في محور ( أو في نقطة ) يحافظ على الاستقامة والبينية وعلى قياس الزوايا وعلى الأطوال وعلى التوازي 0 والانعكاس في محور يعكس الاتجاه الدوراني
بينما الانعكاس في نقطة يحافظ على الاتجاه الدوراني 0
التناظر حول المحور :- إذا كانت صورة الشكل بالانعكاس في محور هي الشكل نفسه 0 قيل أن الشكل متناظر حول هذا المحور ، وحينئذ يسمى المحور ( محور تناظر ) وإذا كانت صورة الشكل بالانعكاس في نقطة هي الشكل نفسه 0 قيل أن الشكل متناظر حول النقطة ، وحينئذ تسمى النقطة ( مركز تناظر )
تدريب :- (1 ) أوجد صورة أ ( س ، ص ) تحت تأثير انعكاس في نقطة الأصل 0 (2) أعط أمثله لأشكال هندسية لها محاور تناظر 0 (3) أعط أمثله لأشكال هندسية لها مركز تناظر 0
الانسحاب هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أ في المستوى صورة أ َ وذلك بإزاحة هذه النقطة مسافة معينة باتجاه معين 0 خواص الانسحاب :- يحافظ على البينة ، الاستقامة ، الأطوال ، قياس الزاويا ، التوازي وعلى الاتجاه الدوراني 0 تدريب :
أوجد صورة النقطة ( س، ص ) تحت تأثير الانسحاب المحدد 0
(1) انسحاب في اتجاة محور السينات الموجب مسافة قدرها أ وحدة 0 (2) انسحاب في اتجاه محور الصادات السالب مسافة قدرها ب وحدة 0
الدوران :
الدوران حول نقطة م هو تحويل هندسي يعين لكل نقطة أفي المستوى صورة على النحو الآتي :-
أ أ َ حيث أم = أ َ م ، م م 0 تسمى م ( مركز الدوران ) وتسمى الزاوية أ م أ َ ( زاوية الدوران ) وإذا كان قياس زاوية الدوران = هـ فإننا نعبر عن الدوران بالرمز د ( م ، هـ ) أو دم ،هـ
- تحت تأثير د ( م ، 90 ْ ) في مستوى الإحداثيات:-
( س ، ص ) ( - ص ، س )
تدريب :- 1) اذكر خواص الدوران 0 2) عين صورة نقطة أ تحت تأثير دوران حول نقطة أخرى م بزاوية قدرها 70 5 3) عين صورة نقطة ب تحت تأثير دوران حول نقطة أخرى م بزاوية قدرها -70 5
- الانعكاس في نقطة مثل م يكافىء دورانا مركزه النقطة م وزاويته قياسها 180 5أو-180 5 0
إذا كانت و نقطة في المستوى ، فإن التحويل الهندسي الذي يعين لكل نقطة أ ( غير و )
صورة أ الشعاع وأ بحيث يكون
وأ َ= عددا ثابتا ، وو و أ يسمى ( تكبيرا ) وتسمى النقطة الصامدة و ( مركز التكبير ) ويسمى العدد الثابت معامل التكبير
تدريب :
ارسم صورة المثلث أ ب جـ الذي رؤوسه 0
أ ( 1 ، 2 ) ، ب( - 1 ، 3 ) ، جـ ( -2 ، 4 ) تحت تأثير التكبير ت ( و ، 2 )
حيث " و " نقطة الأصل
التكبير له جميع خواص الانسحاب والدوران لكنه لا يحافظ على الأطوال 0
س ، ص على ضلعين أ ب ، أ ج ____ ____ فإذا كان : ـــ = ـــ فإن س ص // ب ج س ص
___ ___
(2) وإذا كان س ص // ب ج فإن : أ س = أ ص ب ج
أ ب أ ج
يقال لمضلعين لهما العدد نفسه من الأضلاع أنهما متشابهان إذا تطابقة زواياها المتناظرة وتناسبت أطوال أضلاعها المتناظرة 0
أ أ َ
ب ج بَ جَ
أ ب ج أ َب َ ج َ
نظرية (1) يتشابه المثلثان إذا تطابقت زواياها المتناظرة 0 أ د
ــ = ــ = ــ
- برهن النظرية 0 ب ج هـَ و
نظرية ( 2 ) يتشابة المثلثان اذا تناسبت أطوال أضلاعها المتناظرة 0
بم ــ = ــ = ــ
إ د هـ و أ ب ج
- برهن النظرية :-
نظرية ( 3 ) يتشابه المثلثان إذا طابقت زاوية في المثلث زاوية في المثلث الآخر وتناسب طولا الضلعين المحددين لهاتين الزاويتين0 أ د
ق ا ؟ = ق ء ؟ ـــ = ـــ ب ج هـ و
إ المثلث أ ب ج ~ المثلث د ه و
- برهن النظرية :-
- مناقشة تمرينات من كتاب الطالب على التكبير والتشابه 0