إنّ مسألة الهزّاز التوافقي الخطي من المسائل الرّئيسيّة في الميكانيك الكوانتي ،وله نطبيقاتٌ كثيرةٌ إذ يشبه في الميكانيك الكوانتي حركة جسيم حول وضع التوازن بإهتزازات خطّية صغيرة على شكل هزّاز توافقي خطي. من الإهتزازات الصّغيرة مثلا ً إهتزازات الذ َّرّات في الجزيئة أو إهتزازات الذ ّرّات في الشبكة البلّوريّة نتيجة ارتفاع درجة الحرارة. يشترط الميكانيك الكوانتي لحدوث الحركة التوافقية البسيطة لجسم ما أن يكون الجسم هذا خاضعا ً لقانون نيوتن الثاني وأن تكون قوي الإحتكاك المؤثرة على الجسم معدومة ، ويجبُ أن يخضعَ الجسم لتأثير قوَّة مرنة من النوع: F=-kx=-mw^2 x حيثُ: m السرعة الزّاويّة
التسارع -w^2 x
تعطى الطاقة الكامنة للهزّاز التوافقي الخطي وفقا للقانون الثاني بالشكل: U(x)=-∫_0^x▒〖F.dx〗=+(mw^2 x^2)/2 يوضٍّح الشكل (1) تغيرات الطاقة الكامنة مع الانزياح
و بالتالي فإن صيغة معادلة شرودنفر للهزّاز التوافقي تعطى بالعلاقة: -ℏ^2/2m∙(∂^2 x)/(∂x^2 )+〖mw〗^2/2 x^2 Ψ=EΨ وهذه المعادلة يمكن كتابتها بالشكل التالي: (∂^2 Ψ)/〖∂x〗^2 +2m/ℏ^2 (E-(mω^2 x^2)/2)Ψ=0 إنّ الإختلاف المهم بين معادلة حركة الهزّاز التوافقي ومعادلة شرودنغر لحركة جسيم في حفرة كمونيّة يكمن في أنّه لايوجد هنا جدران تحد من الحركة ،لذلك ليس للهزّاز التوافقي شروط حديّة . إنّ للمعادلة السابقة حلا ًمن أجل قيم معيّنة ﻟ(E) ومجموع هذه القيم ندعوه بالقيم الخاصّة لهذه المعادلة. يحتاج حل المعادلة التفاضلية السابقة إلى معرفة جيدة بالرياضيات الخاصّة بالمعادلات التفاضليّة ولذلك نكتفي هنا بإعطاء نتيجة الحلِّ ،حيث أنّ الطاقة تكون مكممة ومعطاة بالعلاقة: E_(n=) (n+1/2)ℏω ∴n=0,1,2,3………………… ومن هذه العلاقة نرى أنّ طاقة الهزّاز التوافقي هي طاقة مكممة ولها قيم منفصلة
، والخطوة في طيف الطاقه هي (wħ)
ونلاحظ أنّه عندما 0=n يأخذ الهزّاز أدنى طاقة مكممة له E_0=1/2 ℏω
Ψ_0 (x)=√((b/√x) )∙e^(- ( b^2 x^2)/2) Ψ_1 (x)=√((b/(2√x)) )∙2bxe^(- ( b^2 x^2)/2) Ψ_2 (x)=√((b/(8√x)) )∙(4b^2 x^2-2)e^(- ( b^2 x^2)/2) Ψ_3 (x)=√((b/(48√x)) )∙(8b^2 x^2-2bx)e^(- ( b^2 x^2)/2) حيث: b=√(mw/ℏ)