ميكانيك لاغرانج

ميكانيك لاغرانج Lagrangian mechanics عبارة عن إعادة صياغة للمكيانيك الكلاسيكي قدمه جوزيف لويس لاغرانج عام 1788. في ميكانيك لاغرانج ، مسار الجسم يشتق بإيجاد المسلك الذي يقلل الفعل action ، و هو مقدار يعتبر تكامل لكمية ندعوها لاغرانجي Lagrangian على الزمن . اللاغرانجي بالنسبة للميكانيك الكلاسيكي يعتبر الفرق بين الطاقة الحركية و الطاقة الكامنة .

هذا الموضوع يبسط بصورة كبيرة الكثير من المسائل الفيزيائية . مثلا كرة صغيرة في حلقة . إذا قمنا بالحساب على أساس الميكانيك النيوتني ، سيحصل المرء على مجموعة معقدة من المعادلات التي ستأخذ بعين الاعتبار القوى التي تؤثر بها الدوامة على الكرية في كل لحظة .

نفس هذه المسألة تصبح أسها باستخدام ميكانيك لاغرانج . حيث ينظر المرء إلى جميع الحركات الممكنة التي تقوم بها الكرية على الدوامة و يجد رياضيا الحركة التي تقلل الفعل إلى ادنى حد . بالتالي يكون لدينا عدد أقل من المعادلات لأنها لا تمثل حسابا مباشرا لتأثير الدوامة على الكرية عند كل لحظة .

معادلات لاغرانج

لنعتبر جسيما مفردا ذو كتلة m و شعاع موضع r . تطبق عليه قوة F ، يمكن عندئذ أن نعبر عن هذه القوة على أنها تدرج تابع الطاقة الكامنة القياسي (V(r, t:

$\mathbf{F} = - \nabla V.$

مثل هذه القوة تكون مستقلة عن المشتق الثالث أو المشتقات الأعلى رتبة لشعاع الموضع r ، لذا فإن هذه قانون نيوتن الثاني يشكل مجموعة من ثلاث معادلات تفاضلية نظامية من الرتبة الثانية .

لذا فإن حركة هذا الجسيم يمكن وصفها بدلالة متغيرات مستقلة أو ما يدعى " درجات حرية " . درجات الحرية هذه هي مجموعمة من ستة متغيرات :

{ r_j, r′_j | j = 1, 2, 3},

المركبات الديكارتية لشعاع الموضع r و مشتقاته الزمنية ( مشتقاته بالنسبة للزمن ), في لحظة زمنية معينة أي أن الموضع (x,y,z) و السرعة بمكوناتها الديكارتية الثلاثة :

((v_x,v_y,v_z ) ).

بشكل أعم ، يمكننا العمل ضمن جملة إحداثيات معممة

, q_j, مع مشتقاتها الزمنية ، أو ما يدعى بالسرع معممة ، q′_j.

يرتبط شعاع الموضع r مع الإحداثيات المعممة عن طريق جملة معادلات تحويل

خطأ رياضيات (خطأ في الصيغة): \mathbf{r} = \mathbf{r}(q_i ، q_j ، q_k, t).

فمثلا من أجل نواس بسيط ذو طول l ، يكون الخيار المنطقي للإحداثيات المعممة هو زاوية النواس التي يصنعها مع خطه الشاقولي ( العمودي ) ، θ,

و تكون معادلات التحويل :

$\mathbf{r}(\theta, \theta ', t) = (l \sin \theta, l \cos \theta)$ .

مصطلح إحداثيات معممة أحد بقايا فترة استخدام الإحداثيات الديكارتية كنظام إحداثيات افتراضي .

لنعتبر الإزاحة الإعتبارية للجسم δr فيكون العمل المنجز من قبل القوة F هو :

δW = F · δr.

باستخدام قانون نيوتن الثاني يمكننا أن نكتب :

$\begin{matrix} \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} & = & m\mathbf{r}'' \cdot \delta \mathbf{r}. \end{matrix}$

بما أن العمل كمية فيزيائية قياسية ( كمية و ليست شعاعية ) يمكننا إعادة كتابة هذه المعادلات بدلالة الإحداثيات المعممة و السرع على الجانب الأيسر .

$\begin{matrix} \mathbf{F} \cdot \delta \mathbf{r} & = & - \nabla V \cdot \sum_i {\partial \mathbf{r} \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\ & = & - \sum_{i,j} {\partial V \over \partial r_j} {\partial r_j \over \partial q_i} \delta q_i \\ \\ & = & - \sum_i {\partial V \over \partial q_i} \delta q_i. \\ \end{matrix}$

عملية تنسيق الجانب الأيمن أكثر صعوبة لكن بعد الترتيب و التبديل :

$m \mathbf{r''} \cdot \delta \mathbf{r} = \sum_i \left[{d \over dt}{\partial T \over \partial q'_i}-{\partial T \over \partial q_i}\right]\delta q_i$

حيث هي الطاقة الحركية للجسيم T = 1/2 m r′ ² . و معادلة العمل المنجز ستصبح بالشكل :

$\sum_i \left[{d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] \delta q_i = 0.$

على أي حال ، فإن هذا يجب أن يكون صحيحا بالنسبة لأي مجموعة من الإزاحات المعممة δq_i, لذا يكون لدينا :

$\left[ {d\over dt}{\partial{T}\over \partial{q'_i}}-{\partial{(T-V)}\over \partial q_i}\right] = 0$

من أجل أي من الإحداثيات المعممة δq_i.

يمكننا أن نبسط هذه المعادلة بملاحظة V أن هو تابع ل r و t, و شعاع الموضع r تابع أيضا للإحداثيات المعممة و الزمن t لذا فإن الطاقة الكامنة V تكون مستقلة عن السرع المعممة

${d\over dt}{\partial{V}\over \partial{q'_i}} = 0.$

بإدخال هذا في المعادلة السابقة و استبدال L = T - V نحصل على معادلات لاغرانج :

${\partial{L}\over \partial q_i} = {d\over dt}{\partial{L}\over \partial{q'_i}}.$

هناك دوما معادلة لاغرانج وحيدة لكل إحداثي معمم q_i. و عندما يكون q_i = r_i (أي أن الإحداثيات المعممة هي ببساطة إحداثيات ديكارتية ), عندئذ نستطيع بسهولة اختزال معادلة لاغرانج إلى قانون نيوتن الثاني.

الاشتقاق أعلاه يمكن تعميمه على نظام (جملة) مؤلفة من N جسيم. عندئذ يكون هناك 6N إحداثي معمم يرتبطان بإحداثيات الموضع عن طريق معادلات التحويل الثلاثية 3N . في معادلات لاغرانج 3N يكون دوما T هو الطاقة الحركية الكلية للجملة ، و V الطاقة الكامنة الكلية .

عمليا من الأسهل حل المسألة ياستخدام معادلة اويلر-لاغرانج بدلا من قوانين نيوتن . ذلك لأن الإحداثيات المعممة q_i يمكن اختيارها لتلائم تناظرات النظام .

تصنيف الصفحة: ميكانيكا