مفهوم الاستقرار

الإستقرار في الرياضيات هي حالة من حالات الأنظمة أو بتعبير آخر هي خاصية رياضية عادة ما تذكر إقترانا بحل معادلة تفاضلية حيث يقال حل المعادلة التفاضلية كذا و كذا مستقر أو غير مستقر

فهرس

// الأنظمة الخطية و الإستقرار
// الأنظمة الغير خطية و الإستقرار
- مبرهنة ليابونوف
// الإستقرار المحلي
// الإستقرار الشامل
// شبه إستقرار
// مواضيع متصلة

الأنظمة الخطية و الإستقرار

بالنسبة للأنظمة الخطية أو المعادلات التفاضلية الخطية يجب على القيمة الذاتية أن تكون سالبة أو بالأحرى إذا سلمنا بأن القيمة الذاتية هي عدد مركب فإنه يجب أن يكون جزئه الحقيقي سالبا. إذا كان الجزء الحقيقي صفرا فإن النظام يسمى شبه مستقر أي أنه لا يعود إلى حالته السابقة إذا قمنا بتغييرها تغييرا طفيفا بل يبقى في الحالة التي وضعناه فيها. أما النظام المستقر فيعود إلى حالته الأولى إذا أبعدناه عنها إبعادا طفيفا. النظام الغير مستقر يبتعد أكثر فأكثر من حالته الأولية إذا أبعدناه عنها. الصورة أسفله مثلا ترمز لكرة متحركة على أسطح مختلفة وتبين إختلاف خاصية إستقرار الوضعية حسب الأرضية. رياضيا يدرس هذا المثال باشتقاق نموذج هو عبارة عن معادلة تمثل حركة الكرة ثم تتم دراسة إستقراره حسب الطرائق المبينة أسفله.

الأنظمة الغير خطية و الإستقرار

بالنسبة للأنظمة الغير خطية من نوع:
$\dot{x}=f(x,u)$
حيث f دالة غير خطية و x ، u شعاعان, يصعب حساب القيمة الذاتية أو أن مفهوم القيمة الذاتية غير متعارف عليه في هذه الأنظمة. في هذه الحالة تكون أحد الطرق التي يمكن من خلالها معرفة إن كان نظام ما مستقر أم لا هو الإستعانة بمبرهنة ليابونوف. و قبل تبيين طريقة ليابونوف لدراسة الإستقرار فإنه يجدر بالذكر أنه يمكن تخطيط النظام (linearisation) أو المعادلة في نقطة معينة $x l, u l$ و حساب القيمة الذاتية لهذا النظام الخطي فيها و على أساس القيمة الذاتية المتحصل عليها نقول أن النظام مستقر أم لا. المشكل الوحيد هو أن تصنيفنا هذا للنظام ليس صحيحا إلا في دائرة ضيقة حول نقطة التخطيط, أي أنه مثلا إذا قلنا أن النظام مستقر فهذا يعني أنه مستقر في النقطة $x l, u l$ و بعض النقاط حولها و لكن لا نعرف حجم المجال الذي يضم هذه النقاط

مبرهنة ليابونوف

تقول مبرهنة ليابونوف الآتي:
إذا كان لدينا نظام نعبر عنه كالآتي
$\begin{bmatrix}\dot{x}_{1}\\\dot{x}_{2}\\\vdots\\\dot{x}_{n}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}{f}_{1}(x_{1},\ldots,x_{n},u_{1})\\{f}_{2}(x_{1},\ldots,x_{n},u_{2})\\\vdots\\{f}_{n}(x_{1},\ldots,x_{n},u_{n})\end{bmatrix}$
و إذا كانت لهذا النظام نقطة سكون (stady state) نسميها مثلا $x R$ فإن نقطة السكون هذه مستقرة إذا أمكننا إيجاد دالة تسمى دالة ليابونوف و هي دالة تتوفر فيها المواصفات التالية:

$V (x 1,..., X n) > 0$ أي ما يعرف رياضيا ب تحدد موجب Positiv definit أي أن الدالة V لا تكون صفرا إلا عند النقطة صفر $\underline{0}$ (أو حالة السكون التي يمكن بتحويل خطي بسيط translation نقلها من النقطة $X r$ إلى النقطة صفر.) وفي ما عدا ذلك أكبر من الصفر.

$\dot{V}=(grad V(x))^{T}.\dot{x} < 0$ أي أن تفاضل الدالة الرياضية يجب أن يكون سالبا في ما عدا النقطة صفر $\underline{0}$ . أي أن تفاضل الدالة تتميز بخاصية التحدد السالب negative definit.

في حالة تمكنا من العثور على مثل هذه الدالة فإن النظام مستقر. و لنلاحظ هنا أن استعمال هذه الطريقة لا يقتصر على الأنظمة الخطية بل يمكن أيضا إستعمالها في الأنظمة الغير الخطية. كما يجدر بالذكر أنه في حالة عدم عثورنا على هذه الدالة فإنه لا يمكننا أن نجزم بأن النظام $\dot{x}=f(x)$ غير مستقر بل ما نستنتجه هو أن الدالة التي إخترناها لبرهنة الإستقرار لا تصلح لذلك و يجب علينا إختيار أخرى لهذا الغرض. أي أنه لا يمكننا بطريقة ليابونوف أن نبرهن على عدم إستقرار نظام ما و لكن يمكننا أن نبرهن على إستقراره

الإستقرار المحلي

الإستقرار المحلي هو عندما تكون خاصية الإستقرار مرتبطة بمدى أو مجال رياضي معين تكون خارجه منتفية. لاجظ الصورة: الكرة وسط الهضبتين.

الإستقرار الشامل

أن تكون خاصية الإستقرار غير مرتبطة بمجال رياضي معين.

شبه إستقرار

شبه الإستقرار هي الحالة المبينة في الصورة و التي تعني أن نظاما ما لا يعود إلا نقطة إنطلاقه إذا أبعدته منها بل يظل في النقطة التي دفعته إليها. يمكن تبسيطا إعتبار هذه الحالة مستقرة لكن في الحقيقة هذه الحالة يمكن أن تكون مستقرة أو غير مستقرة ( أنظر نظرية الفضاء المحوري Center manifold Theory)

مواضيع متصلة

إستقرار رقمي numerical stability
إستقرار بنيوي structural stability