الرئيسيةبحث

معادلة تفاضلية خطية

في الرياضيات، المعادلة التفاضلية الخطية من الدرجة n هي معادلة من الشكل العام

p_{n}(x)y^{(n)}+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}+ \cdots +p_{1}(x)y^{\prime}+p_{0}(x)y=q(x)\qquad (1)

حيث p_{i}(x) \! و {q(x)}\! هي توابع (أو دالات ) معلومة وحيث p_{n}(x)\ne 0 ، و y(x)\! هو تابع مجهول وايجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نطرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.

عندما q(x)=0 \! تسمى المعادلة بالمتجانسة Homogeneous حيث ايجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة.

عندما تكون المعاملات p_{i}(x)\! مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي ذات معاملات ثابته.

تمثيلات أخرى

أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة (1) بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الدرجة i بالرمز Di أي

y^{(i)}=\frac{d^iy}{dx^i}=D^iy \!

وتصبح المعادلة (1) كالتالي

(p_{n}(x)D^{n}+p_{n-1}(x)D^{n-1}+ \cdots +p_{1}(x)D+p_{0}(x))y=q(x)

أو \sum_{i=0}^{n}p_i(x)D^iy=q(x) \!

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة

هذه المعادلة هي من الشكل p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+ \cdots +p_{1}y^{\prime}+p_{0}y=0

وتحل باستخدام الوسيط y=e^{\lambda}\!

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل {p_{n}\lambda^n +p_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+p_1\lambda+p_0 = 0} لها عدد n من الحلول \lambda=s_0, s_1, \dots, s_{n-1}

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية

y_i(x)=e^{s_i x}

من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل y_H(x)=C_0(x)y_0(x)+C_1(x) y_1+\cdots+C_{n-1}(x) y_{n-1}

حيث C_i(x) \! قد تكون أعدادا أو دالات.

حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة

p_{n}y^{(n)}+p_{n-1}y^{(n-1)}+ \cdots +p_{1}y^{\prime}+p_{0}y=q(x)\!