متعددات حدود بوبكر

تمثّل متعددات حدود ' بوبكر' إحداثا رياضيّا ضمن عائلات متعددات الحدود التي بدأت مع إحداثات الخوارزمي والخيّام في بداية القرن التاسع لتتواصل بدون انقطاع مع إحداثات ونيوتن وغاردانو وفراراي و أولر و لوجندر و لوقا و جاكوبي لاقير وبرنشتاين و هرميت و شارلير وشيبيشاف وماك نمارا وغيرهم. وقع تسجيل متعددات حدود ' بوبكر' كمجموعة متعدداتيّة تأتّـــت من حتّ مُقترح لمعادلةالسريان الحراري ضمن دراسة فيزيائيّة لمثال بخّاخ بيروليتيكي لصنع الرقائق^[1] ^[2]. لــمتعددات حدود ' بوبكر' معادلة أُحادية الحدود ذات برهان مسجّل :

<>: $B_n(x)=x^{n}-(n-4)x^{n-2}+\sum_{p=2}^{s(n)}{(n-4p)\over p!}\prod_{j=p+1}^{2p-1} (n-j)(-1)^p x^{n-2p}$

حيث

$s(n) = {2n+(-1)^n-1 \over 4} \,$

n > 3

أصاغر متعددات حدود ' بوبكر' هي:

$\begin{align} B_0(x) & {} = 1 \\ B_1(x) & {} = x \\ B_2(x) & {} = x^2+2 \\ B_3(x) & {} = x^3+x \\ B_4(x) & {} = x^4-2 \\ B_5(x) & {} = x^5-x^3-3x \\ B_6(x) & {} = x^6-2x^4-3x^2+2 \\ B_7(x) & {} = x^7-3x^5-2x^3+5x \\ B_8(x) & {} = x^8-4x^6+8x^2-2 \\ B_9(x) & {} = x^9-5x^7+3x^5+10x^3-7x \\ & {}\,\,\, \vdots \end{align}$

تعهّد الباحثون الهادي الأبيض و جمال الغنّوشي (تونس) و أموتايو بميدل أووجويوكبي(نيجيريا) وعديد من المختصّين العالميين بالبحث في خصوصيّات متعددات حدود ' بوبكر' . وقد أفضت دراساتهم إلى إيجاد معادلة اشتقاقيّة من الدرجة الثانية من نوع 'ستورم – ليوفيل' لهذه المتعددات. أمكن لهم أيضا اقتراح صيغة تسلسليّة شبه متعدديّة :

$\begin{cases} B_n(x)=\sum_{j=0}^{s(n)}b_{n,j}X^{n-2j}\text{ where }s(n)= \dfrac{ 2n+(-1)^n-1}{4} \\ \\ B_{n,0}=1;\ B_{n,1}=-(n-4)\\ \\ B_{n,j+1} =\dfrac{(n-2j)(n-2j-1)(n-4j-4)}{(j+1)(n-j-1)(n-4j) }{B_{n,j}}\\ \\ B_{n,s(n)} = \begin{cases} 2(-1)^{n/2}\\ \\ (n-2)(-1)^{(n+1)/2} \end{cases} \end{cases}$

وقع نشر دراسة علميّة تقترح متعددات حدود ' بوبكر' المنقّحة أو متعددات حدود 'م- بوبكر' التي أمكن أن يُسند لها معادلة اشتقاقيّة خصوصيّة من الدرجة الثانية:

$\begin{align} m-B_0(x) & {} = 1 \\ m-B_1(x) & {} = 2x \\ m-B_2(x) & {} = 4x^2+2 \\ m-B_3(x) & {} = 8x^3+2x \\ m-B_4(x) & {} = 16x^4-2 \\ m-B_5(x) & {} = 32x^5-8x^3-6x \\ m-B_6(x) & {} = 64x^6-32x^4-12x^2+2 \\ m-B_7(x) & {} = 128x^7-96x^5-16x^3+10x \\ m-B_8(x) & {} = 256x^8-256x^6+32x^2-2 \\ m-B_9(x) & {} = 512x^9-640x^7+96x^5+80x^3-14x \\ & \,\,\,\vdots \end{align}$

آفاق قيد الدراسة (ماجستير، منشورات علميّة)

1. هل لـ"متعدّدات حدود بوبــــكر" معادلات اشتقاقية ذاتيّة؟

2. ما هي العلاقة بين عدد الجذور الحقيقيّة الموجبة لـ"متعدّدات حدود بوبـكر" ودرجاتها ؟

3.ما هي مميّزات "متعدّدات حدود بوبـكر" درجاتها مضاعفات 4 ؟

4. هل من برهان على أنّ الجذور الحقيقيّة الموجبة لـ"متعدّدات حدود بوبكر" توجد حصريّا في الحيز[2;0] ؟:

5. هل من مميّزات أخرى لـ"متعدّدات حدود بوبـكر"؟

.اتصال:mmbb11112000@yahoo.fr