الرئيسيةبحث

مبرهنة ليوفيل

مبرهنة ليوفيل liouville s theorem مبرهنة رياضياتية للعالم و الرياضياتي الفرنسي جوزيف ليوفيل و هي مبرهنة رياضية تعطي معادلة تربط بين تطور حجم volume مجموعة نقاط مبدئية (initial condition) لنظام معين (system) في الزمن و هذا الحجم.


الحجم في فضاء يتجاوز بعده 3

لنفرض أنه لدينا مجموعة نقاط X حجم هذه المجموعة في فضاء بعده n يمكن فهمه على أنه دالة نسميها ρ من ال R^{n}\rightarrow R و هي دالة تنسب لكل مجموعة من حجمها. و من البديهي أنه على هذه الدالة أن تكون موجبة دائما حيث أنه لا وجود لحجم سالب. و بهذا يكون حجم المجموعة X:

Vol_{\rho}\left(X\right)=\int_{X} \rho(x)dx

مبرهنة ليوفيل

فلنفرض أنه لدينا النظام التالي:

\dot{x} = f(x)

و مجموعة من النقاط البدئية X يمكن أن ننسب لها حجما

Vol_{\rho}\left(X\right)

و إذا فرضنا أن \varphi_{t}\left( X \right) هي مجموعة حلول النظام the set of the flows فإن مبرهنة ليوفيل تقول ما يلي:

\left.\frac{\partial}{\partial t}Vol_{\rho}\left( \varphi_{t}\left( X\right) \right)\right|_{t=0}=Vol_{div \left( \rho f\right)}\left(X\right)


حيث div=\nabla