مبرهنة كوشي

نظرية القيم المتوسطة (IVT) هي نظرية مهمة في التحليل و تشغل في الدوال المستمرة في مجال

تقريب المفهوم

نتخيل الحدث التالي.اذا مفتش شرطة تعرفَ ان أحد المشتبه فيهم كان في سويسرا في 14 سا وفي بلد اخر في 16 سا ، فيبدو أن هناك على الأقل زمن محدد بين 14 سا و 16 سا المتهم قد عبر حدود سويسرا (يمكن ان المشتبه فيه قد عبر عدة مرات على الحدود). ونعتقد ان المشتبه به لا يمكن للاتصالات الساتليه (افتراض استمراريه). النظريه القيم الوسيطة رياضيا هي ترجمة لهذه الحالة.

البيان

نفرض تا دالة من ح في ح ، مستمرة عل المجال ل إذن من كل عدد حقيقي أ و ب من ل ، لكل عدد حقيقي ك محصور بين تا(أ) و تا(ب) ، فإنه يوجد عدد حقيقي جـ مابين أ و ب بحيث تا(جـ)=0

حالة خاصة (نظرية بولزانو):إذ تا(أ)≤0 و تا(ب)≥0 ، فيوجد على الأقل عدد حقيقي جـ مابين أ و ب بحيث تا(جـ)=0 (لأن 0 محصور بين تا(أ) و تا(ب))

ملاحظات

خصية الإستمرار تمثل فكرة حدسية:من الممكن رسم بيان الدالة بخط واحد ، أي رسم بدون رفع القام.
هذه الملاحظة تسمح لنا بطرح سؤال:إذ لا يوجد تشابه بين خاصية القيم الوسطى و الإستمرارية؟ لسوء الحظ الجواب سالب . لوجود مثال مضاد معطاة بدالة الحقيقية للمتغير الحقيقي تا معرف بـ:

$f(x)=\sin\left(\frac{1}{x}\right)\,$ إذ $x\ne 0$ و $f(0)=0\,$ . هذه الدالة ليست مستمرة عند 0 ولكن تكفي خاضية القيم الوسطى لكل مجموعة نقاط من ح.

هذه الخاصية مهمة في تخطيط نظرية التحليل العنصري ، يسمح برهنة نظرية من bijection و العديد من الدوال العنصرية مثل الجذر المربع.