لوغاريتم طبيعي

دالة اللوغاريتم الطبيعي او النبيري هي دالة اللوغاريتم للاساس e. و هي الدالة الاصلية للدالة $x\mapsto 1/x$ على $]0 ; + \infty[$ و تنعدم في 1 .نرمز ل هذه الدالة ب Log (عدم الخلط مع log و التي ترمز لدالة اللوغاريتم العشري) او ln بصفة عامة :

$\forall x \in \R^*_+,\ \ln(x)=\int_1^x \frac{1}{t}\mathrm{d}t$

خاصيات اساسية

اتصال و رتابة دالة اللوغاريتم الطبيعي

نستنتج مما سبق ان الدالة ln معرفة على $]0 ; + \infty[$ و قابلة للاشتقاق على هذا المجال و :

$\forall x \in \R^*_+,\ \ln'(x) = \frac 1x$

و منه الدالة ln متصلة على $]0 ; + \infty[$ و بما ان مشتقتها موجبة قطعا فانها تزايدية قطعا على $]0 ; + \infty[$

عمليات على دالة اللوغاريتم الطبيعي

لتكن f دالة معرفة ب $\ f(x) = \ln(ax)$ حيث a و x عددان موجبان قطعا. مشتقة هي نفس مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي اي ان :

$\ f(x) = \ln(x)+k \ / \ k \in \ R$

و بما ان : f(1) =k فان : ln(a)=k اذن و بصفة عامة :

$\forall (a;b)\in ]0 : + \infty[^2,\ \ln(ab) = \ln(a) + \ln(b)$

من هاته الخاصية نستنتج الخاصيات التالية :

$\forall (a;b)\in ]0 : + \infty[^2,\ \ln\left(\frac ab\right) = \ln(a) - \ln(b)$
$\forall a \in ]0 ; + \infty[,\ \forall n \in \mathbb Z,\ \ln(a^n) = n \ln(a) \quad$
$\forall a \in ]0 ; + \infty[,\ \forall r \in \mathbb Q,\ \ln(a^r) = r \ln(a)$ *
$\forall (a_1,a_2,....,a_k) \in ]0 : + \infty[^k,\ \sum_{n = 1}^{k}ln(a_n)= ln(\prod_{n=1}^k a_n)$

تصنيفات الصفحة: بذرة رياضيات | لوغاريتمات